2.2.1直线的参数方程.pptVIP

1．直线 l: (t为参数) 与圆 x2 +y2 = 9 相交于A,B两点.P(-1,2),求(1)|PA| +|PB|和|PA| · |PB|的值。(2)求弦AB的中点坐标。 (2)直线的参数方程的一般形式： (t为参数)． 其中(x0，y0)表示该直线上的一点, 表示直线的斜率．当a，b分别表示点M(x，y)在x轴正方向与y轴正方向的分速度时,t就具有物理意义——时间,相应的at，bt则表示点M(x，y)在x轴正方向、y轴正方向上相对(x0，y0)的位移． 解：由题意知则直线PQ的方程是 (时间t 是参数) 将t=3s代入得Q（?8，14）。 例．一个小虫从P（1，2）出发,已知它在 x轴方向的分速度是?3,在y轴方向的分速度是4,问小虫3s后的位置Q。 说明：(1)标准形式是一般形式的特殊情况。一般式中当a2+b2=1且b0就是标准形式。 (2)当a2+b2≠1，可以把一般形式转化为标准形式。过程 如下： 一般仍写成 转化之后仍表示同一条曲线。 ⑵如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的直线的参数方程为： O x y l P Q ①其中参数 的几何意义是点M分有向线段QP的数量比： M 设直线上的任意一点M(x,y) 当 时，M为内分点； 当 时,点M与Q重合。 当 且 时，M为外分点； ( 为参数， ) ② 当点M在线段QP上时,取“+”;当点M在线段QP的延长线或反向延长线上时,取“-”号。 当 时.点M是线段QP的中点。 1 说明：1、由曲线的参数方程知道，每个参数值对应曲线上的一个点，所以要求曲线上的一个点，可先求这个点对应的那个 参数的值。 2、直线的参数方程的标准形式的应用： (1)参数t的几何意义是定点P(x0,y0) 到M(x,y) 的有向线段的数量 (2)设直线上的三点A,B,C对应的参数分别是t1,t2 t3,则有 过定点P(x0,y0)且倾斜角?的直线的参数方程为： 如点C是线段AB的中点，则有 特殊地，点P是线段AB的中点，则有 例1 A B M(-1,2) x y O 解: 因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上. 易知直线的倾斜角为 把它代入抛物线y=x2的方程,得 A B M(-1,2) x y O 直线参数方程的应用（标准形式） 1）? 求一端点是M0(x0,y0)的线段长 3）? 求一端点是M0(x0,y0)的两线段 长 的和与积 2) 求弦长 错解： 错误分析：直线的参数方程必须先转化为标准形式后才可运用，即要理解直线的参数方程中的参数的几何意义． 正解： 点评：要求A、B两点到P的距离之和或积，由参数的几何意义，即只要求|tA|+|tB|或|tA·tB|，求|AB|即求出|tA-tB|，运用韦达定理和直线的参数方程中t的几何意义即可，是解决直线和二次曲线问题常用的方法之一． (3,? 4) B 9 直线的参数方程： 经过两个定点 的直线的参数方程为： （ 为参数 ， ） 例2．求点A（?1，?2）关于直线l：2x ?3y +1 =0的对称点A 的坐标。 解：由条件，设直线AA‘ 的参数方程为 (t是参数)， ∵A到直线l的距离d = ， ∴ t = AA = ， 代入直线的参数方程得A’ ( ， )。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二、求解中点问题 例3．已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。 解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是 。(t是参数)，代入双曲线方程得： (2cos2θ ?sin2θ) t2 +2(2x0cosθ ?y0sinθ)t + (2x02 ?y02 ?2) = 0， 由题意t1+t2=0，即2x0cosθ?y0sinθ =0，得 。 又直线P1P2的斜率