对《同步学习》中一道习题的探究.docxVIP

对《同步学习》中一道习题的探究原题是九上《同步学习》第53页的第3题，题目如下：经过对原题的深入思考后，我把题目改编如下：如图所示，△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点Ａ逆时针旋转(0°??180°)，得到△ADE，BD和CE所在直线相交于点O，BC和DE所在直线相交于点H，AD和BC所在直线相交于点F， AC和DE所在直线相交于点G，连接AO、BE、CD、FG。（1）.求∠BOE，（2）.你还能得出哪些结果？请举例并证明。1.用观察分析的方法来求∠BOE。如原图易知△ABD逆时针旋转角度∠BAC得到△ACE， 所以BD逆时针旋转角度 ∠BAC得到CE，所以∠BOE=180°－∠BAC。在原题中，∠BAC＝60°， 所以∠BOE=180°－∠BAC＝120°， 从式子 ∠BOE=180°－∠BAC可知，∠BOE并不随旋转角变化而变化，只与∠BAC有关，从而容易求出∠BOE的度数。2. 还能得出以下结果：①AO平分∠BAE和∠DAC;②H在直线AO上； ③BE〃FG〃CD;④△ABF≌△AEG、△ABH≌△AEH、△AFH≌△AGH、△ADH≌△ACH、△ABO≌△AEO、△ADO≌△ACO、△BDH≌△ECH、△BDF≌△ECG、△DFH≌△CGH、△DFG≌△CGF、△DHO≌△CHO、△BDC≌△ECD、△BHO≌△EHO、△BDE≌△ECB、△BOC≌△EOD；⑤△AFG∽△ADC、△DHC∽△GHF∽△EHB、△DOC∽△BOE。⑥△DOC、△DHC、△FHG、△BHE、△FAG是等腰三角形。分三种情况讨论：0°??60°、=60°、60°??180°，现以0°??60°这种情况为例，用观察分析的方法来证明。方法1：如图， 设AX平分∠BAE，则有∠BAX-∠BAD=∠EAX-∠CAE，即∠DAX=∠CAX，所以AX也平分∠CAD。所以点B和点E、点D和点C关于AX对称，根据轴对称的概念与性质可知，BD所在直线与EC所在直线的交点、BC所在直线与ED所在直线的交点在在对称轴AX上，即点O、H在对称轴AX上，所以有：①AO平分∠BAE和∠DAC; ②H在直线AO上。点F在AD上，所以点F关于AX的对称点在AC上，又点F在BC上，所以点F关于AX的对称点在DE上， 而AC与DE的交点为G，所以点F和点G关于AX对称， 所以BE所在的直线与CD所在的直线、FG所在的直线两两互相平行，即③BE〃FG〃CD。方法2：易知∠ABE=∠AEB，容易得出，所以OB=OE，利用SAS或SSS都可证明得△ABO≌△AEO， 所以AO平分∠BAE，易得AO平分∠DAC。利用AAS（∠BHD=∠EHC、∠DBH=∠CEH、BD=CE）可得△BDH≌△ECH，所以BH=EH，利用SAS或SSS都可证明得△ABH≌△AEH，所以有AH平分∠BAE，所以H在AO上。（也可利用SSS证△ADH≌△ACH）证明③BE〃FG〃CD有以下方法：用内错角相等或同位角相等、利用三角形全等得出对应线段相等后平行线分线段成比例、AO垂直BE、FG、CD。其余结果证明略。（从对称的角度去思考可容易得出。）另外两种情况=60°、60°??180°可类似分析。=60°时图像如下：点O、D、F、G、H与C重合。60°??180°时图像如下：若加上AC与BD、AD与CE、BE、FG、CD与各线的交点还能得出更多结果。若把原题的等边三角形改成正方形呢？如下图所示：正方形ABCD逆时针旋转一个角度得到正方形AEFG，进行类似探究。弱化条件，四边形ABCD中，AB=AD， CB=CD，逆时针旋转一个角度得到四边形AEFG，进行类似探究。在与马山古寨的蓝春萍老师的探讨中我得到很大的启发，在此向她致以诚挚的谢意。