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对一道数学趣题的解答的剖析与思考 潘建辉 陈继林 张晓斌 （1.重庆　重庆邮电大学数理学院，400065　2.重庆　重庆市天星桥中学400030　3.重庆　重庆市教育科学研究院，400015） 摘要：首先，通过列举并剖析人们对一道数学趣题的几种常见解答，发现结论为有解的解答存在逻辑漏洞，而结论为无解的解答却又丝毫未解决分牛纠纷．接着，在将抽象问题与情景问题的解加以区别，并在“逐层分析，退求其次”解题策略下，通过求近似解，才使问题得到解决．最后，根据网民、大一新生和期刊论文作者对本趣题解答情况的统计分析，发现了我国数学教育中存在的几个问题． 关键词：趣题解答；退求其次；统计分析；数学教育；质疑精神 1 一道数学趣题及其常见解答 有一道数学趣题，流传着许多种版本，大量出现在小学教材和课外读物里．现以上海版六年级《数学》课本中的一道习题为例展开讨论． 古印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把11头牛分给三个儿子，老大分得总数的，老二分得总数的，老三分得总数的.按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分．三兄弟为此一筹莫展，你能帮助他们解决问题吗？ 据说，在场的一位智叟巧妙地解决了这个难题.他先借给他们1头牛，使牛的总数变成12，然后三兄弟按遗嘱中的比例各分得6头、3头和2头；最后，剩下1头，又还给智叟．从而，问题得到解决，且各方皆大欢喜． 在此方案启发下，人们想出了许多种解答方法．常见的有： （1）借一法 先借1头，使牛的总数变成12．三兄弟各分得总数12的，即6头、3头和2头．最后剩下1头，物归原主．这样，三兄弟既是按遗嘱份额要求，又是将11头整分完的．所以，问题得解． （2）级数法 因三兄弟的总份额为，故老大第一次从总数11中分得后，第二次可从总剩余量中，分得．照此一直分下去，老大分得的总头数为．同理，老二、老三分得的总头数各为3和2．严格按遗嘱份额要求，11头被整分完．问题得解． （3）连比法 因，且，故三兄弟各分得6头、3头和2头．按遗嘱比例要求，11头被整分完．问题得解． （4）方程法 设老大分得头，则老二和老三各分得头和头．依题意得方程，解之得．故三兄弟各分得6头、3头和2头．按遗嘱比例要求，11头被整分完．问题得解． （5）舍入法 因，，，且，故三兄弟各分得6头、3头和2头．近似按遗嘱比例要求，11头被整分完．问题得解． 但也有人认为这是一道错题，无法解．即： （6）归错法 既要求三兄弟各分得总数的，又要求整分11，这无法实现．所以，此为错题，无法解． 还有人认为此题自相矛盾，故无解．即： （7）矛盾法 因，且总数11为素数，若按遗嘱要求，则11既不能被分尽，又不能被整分，故遗嘱内容自相矛盾，要求无法满足．本题无解． 然而，这是错题吗？若否，又是否有解？若有，又该怎样解呢？ 2 对常见解答的剖析 法（1）似乎既巧妙又合理，但其中的推理存在逻辑漏洞．因为实际是以12而非遗嘱要求的11为总数进行分配的，故推理有漏洞．但这是否也说明智叟的解决方案有问题呢？本问题留在3.2节回答． 法（2）巧妙利用极限思想，既是一次次严格按遗嘱份额分配，又恰将11整分，似无毛病，但也有漏洞．问题就出在“一次又一次地分割”，因遗嘱没说“一次不能分尽，可再分”．就像叫小孩吃半个月饼一样，小孩不能先吃半个，再吃剩下半个的一半；否则，一直这样吃下去，几乎是要把整个月饼吃光的．这就不是吃半个月饼了． 法（3）似乎既精巧又无懈可击，但仍有漏洞．因“，且”表示“按的比例把11头牛分完”，但遗嘱要求的是分别把总数11头牛的分给三兄弟．当且仅当几个正分数的和为1时，这两种分法才等价．这里的，故两者不等价．所以，法（３）仍有漏洞． 法（4）虽巧妙利用了方程思想，但还是有漏洞．问题就出在“依题意得方程”，因方程并不合题意．错误的实质与法（3）同，即当且仅当几个正分数的和为1时，方程才符合题意．故法（4）还是有漏洞． 法（5）似乎显得荒诞，但它或许蕴涵着某种重要的解题思想． 法（6）显然不对．一方面，这是生活中可能出现的实际问题；另一方面，题中矛盾并非设计者考虑不周所致，而是为考验解答者智慧所精心设置．故本题并非错题，而是匠心独运的好题． 法（7）似乎是唯一正确的解答，但本问题真的无解吗？下面我们来做进一步讨论． 尽管解答（7）已由非整数，否定了严格满足本题条件的整数解不存在，即认为无解，但这并未解决问题，因为我们所面临的是分牛的现实问题．这里的“无解”既未告诉人们是否应该分牛，又未指出“若分，又该怎么分；若不分，又将怎么办” ．所以，解答（7）实际上并未解决分牛纠纷．为什么会出现这样的尴尬，我们又该怎样解决这一矛盾呢？为此，我们尝试用下面的办法，看是否能解决问题． 3 本题在“逐层分析，退求其次”解题策略下的解决方案 3.1 “逐层分析，