2017届高考数学一轮复习第六章数列6.4.1数列求和对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4.1 数列求和对点训练 理 1.数列{an}的通项公式是an＝，若Sn＝10，则n的值是(　　) 　A．11 B．99 C．120 D．121 答案　C 解析　an＝＝－， Sn＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.令Sn＝10，解得n＝120.故选C. 2．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为(　　) A．125 B．126 C．127 D．128 答案　C 解析　设数列{an}的公比为q(q0)， －a3，a2，a4成等差数列， 2a2＝a4－a3， 2a1q＝a1q3－a1q2， 解得q＝2或q＝－1(舍去)， S7＝＝＝27－1＝127.故选C. 3.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当d1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)由题意有， 即 解得或 故或 (2)由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是 Tn＝1＋＋＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋＋＋…＋. ①－可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－， 故Tn＝6－. 4．数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－，nN*. (1)求a3的值； (2)求数列{an}的前n项和Tn； (3)令b1＝a1，bn＝＋an(n≥2)，证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn2＋2ln n. 解　(1)当n＝1时，a1＝4－＝1； 当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝4－知， a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝4－， 两式相减得nan＝－＝－＝， 此时an＝. 经检验知，a1＝1也满足an＝. 综上，an＝， 故a3＝＝. (2)由(1)知，an＝，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列， 故Tn＝＝2－. (3)证明：由(1)(2)知，b1＝a1＝1， 当n≥2时， bn＝＋an ＝＋·＝＋·. 当n＝1时，S1＝12＋2ln 1＝2，成立； 当n≥2时， Sn＝1＋＋＋…＋ ＝1＋2＋＋ ＋ ＋…＋·＋ ＝1＋2＋＋ ＋＋…＋ ＋ ＝1＋2＋＋ ＋＋…＋＋· ＝2＋2－·2＋2. 构造函数f(x)＝ln (1＋x)－，x≥0， 则f′(x)＝－＝≥0， 故函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x0时， f(x)f(0)＝0，即ln (1＋x)． 令x＝，n≥2，则ln ， 从而可得ln ，ln ，…，ln ， 将以上n－1个式子同向相加即得 ＋＋…＋ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln ＝ln n，故Sn2＋22＋2ln n. 综上可知，Sn2＋2ln n. 5．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1，所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1. 当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝. 当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝. 所以Tn＝ 4