2017届高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式课时练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理 　时间：45分钟 基础组 1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是(　　) A．若x≠kπ，kZ，则sin2x＋≥4 B．若a0，则a＋≥－4 C．若a0，b0，则lga＋lgb≥2 D．若a0，b0，则＋≥2 答案　D 解析　当sin2x＝1时，1＋1＝24，所以A错；若a0，则a＋≤－4，B错；因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a0，b0，所以，都大于零，D正确． 2．[2016·武邑中学一轮检测]若不等式≤a≤在t(0,2]上恒成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　＝，而t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t＝2时等号成立)，＝＋＝22－，因为≥，所以＝＋＝22－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为. 3．[2016·武邑中学月考]设abc0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　) A．2 B．4 C．2 D．5 答案　B 解析　原式＝a2＋＋＋a2－10ac＋25c2＝a2＋＋(a－5c)2≥a2＋＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且a2＝，即a＝2b＝5c＝时等号成立，故原式的最小值为4.故选B. 4．[2016·衡水中学热身]已知a0，b0，且2a＋b＝4，则的最小值为(　　) A. B．4 C. D．2 答案　C 解析　由4＝2a＋b≥2，得ab≤2，又a0，b0，所以≥，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立． 5. [2016·枣强中学期中]已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________． 答案　9 解析　由已知得＝1，则＝＋＝＝10＋＋≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号． 6．[2016·衡水二中预测]已知x0，y0，若＋m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案　－4m2 解析　根据题意，x0，y0，则0，0， 所以＋≥2＝8，当且仅当＝时， 即y＝2x时等号成立，即＋的最小值为8. 若＋m2＋2m恒成立，必有m2＋2m8恒成立， 所以m2＋2m8，m2＋2m－80，即－4m2. 7．[2016·枣强中学期末]已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________． 答案　4 解析　由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3， 2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故2x＋4y的最小值为4. 8．[2016·衡水二中模拟]已知x，yR，满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________． 答案　[4,12] 解析　2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，6－(x2＋4y2)≤，x2＋4y2≥4，当且仅当x＝2y时取等号．又(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12.综上可得4≤x2＋4y2≤12. 9．[2016·武邑中学预测]已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：8. 证明　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝　 －1＝＝　， －1＝＝　， 又x，y，z为正数，由×②×③，得 8. 10．[2016·冀州中学仿真]证明：＋a≥7(a3)． 证明　因为a3，所以＋a＝＋(a－3)＋3≥2＋3＝2×＋3＝7. 当且仅当＝a－3，即a＝5时，等号成立． 11．[2016·武邑中学猜题]已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y－1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解　由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)， 得 (1)x0，y0，3xy＝x＋y＋1≥2＋1. 3xy－2－1≥0， 即3()2－2－1≥0， (3＋1)(－1)≥0， ≥1，xy≥1. 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． xy的最小值为1. (2)x0，y0，x＋y＋1＝3xy≤3·2. 3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， [3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号， x＋y的最小值为2. 12. [2016·衡水二中期末]如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)? 解　解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y＝，其中k为比例系数，且k0. 根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a0，b0)， 所