2017届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1.1导数的概念及其几何意义对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1.1 导数的概念及其几何意义对点训练 理 1．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 答案　C 解析　y′＝x′·ex－1＋x·(ex－1)′＝(1＋x)ex－1，曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C. 2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(aR，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝(　　) A. B. C．－ D．1 答案　C 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)的图象，知导函数图象为，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－0知a0，所以a＝－2，代入可得函数f(x)＝x3－2x2＋1，可得f(1)＝－，故选C. 3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于(　　) A．0 B．－1 C. D．2 答案　C 解析　依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝. 4.设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________． 答案　(1,1) 解析　y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝(x0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)． 5．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________． 答案　(e，e) 解析　y′＝ln x＋1，设P(x0，y0)，ln x0＋1＝2得x0＝e，则y0＝e，P点坐标为(e，e)． 6．若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为________． 答案　[－1,2] 解析　易知函数f(x)＝－ex－x的导数为f′(x)＝－ex－1，设l1与曲线f(x)＝－ex－x的切点为(x1，f(x1))，则l1的斜率k1＝－ex1－1.易知函数g(x)＝ax＋2cosx的导数为g′(x)＝a－2sinx，设l2与曲线g(x)＝ax＋2cosx的切点为(x2，g(x2))，则l2的斜率k2＝a－2sinx2.由题设可知k1·k2＝－1，从而有(－ex1－1)(a－2sinx2)＝－1，a－2sinx2＝，故由题意知对任意x1，总存在x2使得上述等式成立，则有y1＝的值域是y2＝a－2sinx2值域的子集，则(0,1)[a－2，a＋2]，则 －1≤a≤2. 7．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a， f′(－1)＝0，3a－6－6a＝0，a＝－2. (2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)． g′(x0)＝6x0＋6， 切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9； 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， 由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9， y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9. 由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1. 在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10； y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9. 综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0. 3