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第一章 行列式 第一节 排列及其逆序数 引言 排列与逆序数 一、引言 我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组 * * * * （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 时， 我们有 （2） 为方便记忆，我们引入二阶行列式 （3） 则（2）可以表示为 （4） 即当（1）的系数行列式 时， （1）的解可以 用二阶行列式表示为（4）。 用高斯消元法，对三元一次线性方程组 （5） 我们也可以得到类似的结果。即如果引入三阶行列式 （6） 则当（5）的系数行列式 （7） 时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为 （8） 对于n元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、 （8）的结果呢？这就是本章要回答的问题 。为解决 这一问题，我们要引入n阶行列式的概念。作为定义n 阶行列式的预备知识，下面我们将简单介绍排列的逆 序数的概念。 二、排列与逆序数 1、排列与逆序数的定义 把n个不同元素排成一列，称为一个全排列或简 称排列（permutation）。用Pn表示n个元素所成全 排列的个数，则Pn＝n！。这门课程中我们关心的主 要是一个全排列里面元素的排列次序。 在这n！个不 同的全排列中，我们规定某一个排列的次序为标准顺序。对自然数，我们规定从小到大的排列顺序为标准顺序。 定义1 在一个排列中，当其中某两个元素的次 序与标准顺序中这两个元素的次序不一致时，我们 称这两个元素产生了一个逆序(an inverse－order)。 一个排列中所有的逆序数的总数称为这个排列的逆 序数(number of the inverse-orders)。 例如，排列1234的顺序为标准顺序，其逆序数为 0。在排列1324中，元素3和2的次序与它们在标准顺 序中的次序不同（标准顺序中应该是2排在3的前面， 因为2比3小），因此这两个元素产生了一个逆序,而其它任意两个元素的排列次序都与其在标准顺序中的次序一样，因此排列1324的逆序数为1。 实际上，根据逆序数的定义，我们可以得到逆 序数的计算方法如下： 设有n个自然数， 为这n个数的一个排 列。则对每个 , 如果比 大且排在 前面的元素个 数为 ，就称 在这个排列中的逆序数为 ，而 就是这个排列的逆序数。 例1 求排列4321576的逆序数。 解 4前面没有数，因此 3前面有1个数（即数字4）比它大，因此 2前面有2个数比它大，因此 1前面有3个数比它大，因此 5前面没有数比它大，因此 7前面没有数字比它大，因此 6前面有1个数比它大，因此 因此，这个排列的逆序数为： 例2 求自然数1,2，…，n组成的排列n (n – 1) (n – 2) ··· 21的逆序数 。 解 由前面所述的逆序数的求法，我们可以得到此 排列的逆序数为 2、排列的奇偶性 定义2 如果一个排列的逆序数为奇数，则称此 排列为奇排列（odd permutation）；如果一个排 列的逆序数为偶数，则称此排列为偶排列（even permutation）。 例如，上述例1中的排列即为奇排列。 定义3 在一个排列中，将某两个元素对调位置而其余元素保持不变的操作称为对换。 例如，在排列1234中对换2和3，得到新排列 1324。排列1234为标准排列，因此其逆序数为0，它 是一个偶排列，而排列1324的逆序数为1，这是一个 奇排列。实际上，我们可以证明，这个结论对于一般 的排列也是正确的，即有 定理1 在一个排列中，进行一次对换，排列改变奇偶性。 证：先证对换两个相邻元素的情形。 设排列为 逆序数为 。对换 * *