线性代数2-2课件.pptVIP

§2 矩阵的运算 主要内容： 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、方阵的行列式 六、共轭矩阵 §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义:设有两个m×n 矩阵A = (aij )与 B = (bij ),那么矩阵A与B的和记作A+B,规定为 §2 矩阵的运算 注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算. 例 §2 矩阵的运算 §2 矩阵的运算 例 §2 矩阵的运算 二、数与矩阵相乘 定义:数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为 §2 矩阵的运算 例 §2 矩阵的运算 数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B都是m×n 矩阵, λ 、 μ为数)﹕ (1) (λμ)A= λ (μA), (2) (λ+μ) A = λA+μA, (3)λ ( A + B) = λA+λB . 定义:矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. §2 矩阵的运算 三、矩阵与矩阵相乘 定义:设A = (aij)是一个m×s矩阵,B = (bij)是一个s×n矩阵,那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C = (cij),其中 cij = ai1 b1j+ ai2 b2j +? ? ? + ais bsj =∑ aik bkj (i = 1,2, ? ? ?, m ; j = 1,2, ? ? ?, n), 并把此乘积记作 C = AB §2 矩阵的运算 例 §2 矩阵的运算 例 §2 矩阵的运算 例 §2 矩阵的运算 定义:AB是A左乘B ( B 被 A左乘)的乘积,BA是A右乘B的乘积. 定义:对于两个n阶方阵A、B,若AB=BA,则称A与B是可交换的. §2 矩阵的运算 矩阵乘法满足下列运算规律 (1) (AB) C = A (BC ), (2) λ (AB)= (λA )B = A (λB)(其中λ为数), (3)A (B+C) = AB+ A C, (4) (B+C)A = BA+ C A , (5) Em Am×n = Am×nEn = Am×n (其中E为单位阵) . §2 矩阵的运算 称为纯量阵. 由(λE)A=λA , A (λE)=λA ,可知当A为n阶方阵时,有 (λEn)An=λAn =An (λEn). §2 矩阵的运算 定义:若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,即 A1 = A, A2 = A1 A1, Ak = A1 A1 ? ? ? A1 k个 AkAl =Al+k, (Ak)l =Alk §2 矩阵的运算 由于矩阵不满足交换律,则 (1) (AB)k ≠Ak Bk, (2)A2- B2 ≠ (A + B) (A - B), (3) (A+B)2 ≠ A2+2AB+B2, (4) (A-B)2 ≠ A2-2AB+B2 . §2 矩阵的运算 §2 矩阵的运算 四、矩阵的转置 定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT. 例 §2 矩阵的运算 矩阵的转置满足下述运算规律(假设运算都是可行的) : (1) (A T)T = A, (2) (A+B)T = A T +B T , (3) (λA)T =λA T, (4) (AB)T= B T A T . §2 矩阵的运算 §2 矩阵的运算 解法二 §2 矩阵的运算 定义:设A为n阶方阵,如果满足A T = A,即 aij= aji (i = 1,2, ? ? ?, n ; j = 1,2, ? ? ?, n ), 那么A称为对称矩阵,简称对称阵. 例 §