线性代数1-3课件.pptVIP

§6 行列式按行(列)展开 一、余子式和代数余子式 二、引理 三、行列式按行(列)展开 例1.6.2 (例1.5.2的解法2)求解 四、代数余子式的重要性质 * 第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行(列)展开 §7 克拉默法则 在n阶行列式中，把(i,j)元所在的第i行和第j列划掉，其余的元素按原 来的相对位置排列，所形成新的n-1阶行列式叫做的(i,j)元 就叫做相应的代数余子式. 例如,对于4阶行列式 的(3,2)元 的余子式为 代数余子式为 ,是一个数值; 记作 的余子式， 而余子式再赋予如下符号后的式子(仍是一个数值) 在n阶行列式D中,如果其第i行除(i,j)元以外,其余的元素均为零,则该行 列式等于这个(i,j)元与它的代数余子式的积.即 是分块下三角行列式,于是 (2)再证一般情形,通过行的交换、列的交换转化为上述特殊情形. 证明:(1)先证i=j=1的情形,此时 依次换行i-1次得到: 再依次换列j-1次得到: 右端行列式是一个分块下三角行列式,于是 证毕. 注 该引理在行列式计算中的意义在于:这类特殊行列式可以降一阶处理; 该引理在理论上的意义在于:可以引导出行列式按行(列)展开的性质. 定理3：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘 积之和. 该性质称为行列式按行(列)展开法则. 即 证明: 按第i行展开: 按第j列展开: 再根据引理，即有: 类似地，按列可以证明: 证毕. 注:利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算. 例1.6.1（例1.3.1的解法4） 解: 解：保留 ,利用性质6,把D的第3行其余元素均化为零,再按第3行展开: 例1.6.3（例1.5.6的解法2） 解: 其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积. 例1.6.4 证明：范德蒙德（Vandermonde）行列式 特点:第1,2,… ,n行元素分别是第2行元素的0,1,… ,n-1次幂. 结论:行列式的值是第2行各元素与其前面各元素之差的乘积.例如 证明: 用数学归纳法,当n=2时 假设当n-1阶时,结论成立.则对n阶范德蒙德行列式,从第n行开始，后行减 去前行的 倍,得到 证毕. 定理3的推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数 余子式乘积之和等于零. 即 综合定理3及其推论，有关于代数余子式的重要性质： 按行: 按列: 按行: 按列: 注:代数余子式的上述重要性质,在计算及理论推导中均有应用.如下例. 例1.6.5 设 解:(1) ,其(i,j)元的余子式,代数余子式分别 记作 ，求(1) 例1.6.5 设 解:(2) ,其(i,j)元的余子式,代数余子式分别 记作 ，求(1) 如果上述n阶线性方程组的系数行列式 克拉默法则 （1.7.1） 则方程组(1.7.1)有唯一解 其中 通过四点 求系数 例1.7.1 设曲线 解: 把四个点的坐标代入曲线方程，得 系数行列式 定理4 如果n阶线性方程组(1.7.1)的系数行列式非零, 则(1.7.1)一定有 解，且解是唯一的. 系数行列式与线性方程组的解 逆否定理为： 定理4’ 如果线性方程组(1.7.1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列 式必为零. 若线性方程组(1.7.1)右端的常数项全为零,则方程组化为 撇开(1.7.1)的求解公式, 克拉默法则可叙述为 齐次线性方程组与非齐次线性方程组 称为齐次线性方程组,否则称(1.7.1)为非齐次线性方程组. (1.7.2) 1. 三元齐次线性方程组解的几何意义 上述三元齐次线性方程组的解即三个平面的公共点.由于三个平面 唯一解(即零解),无非零解 齐次线性方程组及其有非零解的充要条件 都过坐标原点 ,故(1.7.3)一定有零解 （1.7.3） 无穷多解(含零解),有非零解 2. 齐次线性方程组有非零解的充要条件 注：讨论含参数的n元齐次线性方程组有非零解的充要条件,和利用克拉 默法则求解n元线性方程组一样,都是本节典型习题. 齐次线性方程组(1.7.2)一定有零解，但未必有非零解. 把定理4应用于齐次线性方程组(1.7.2),可得 定理5 如果齐次线性方程组(1.7.2)的系数行列式不为零,则齐次线性方 程组(1.7.3)没有非零解. 逆否定理为 定理5’ 如果齐次线性方程组(1.7.2)有非零解,则其系数行列式必为零. 定理5(或定理5’)说明, 系数行列式为零是齐次线性方程组(1.7.2)有非 零解的必要条件；在