第一节微分方程的基本概念课件.pptVIP

将关系式中含有未知函数的导数的方程, 称为微分方程. 一般的微分方程中有未知函数,未知函数的导数和自变量. 其它可以不出现, 但未知函数的导数一定要有. 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个, 则称它为 常微分方程. 自变量的个数为两个或两个以上的称为偏微分方程. 微分方程的一般形式是 一阶微分方程 y’=f(x,y) F(x,y,y’)=0 二阶微分方程 y”=f(x,y,y’) F(x,y,y’,y”)=0 如果一个函数y=y(x)代入微分方程中使它变成恒等式,该函数称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解. 为了使研究的问题具有实际的意义,要求给出初始条件将这些任意常数变成确定的数称为微分方程的特解. 初始条件: 例如 t=t0, x=x0..y|x=x0=y0, y(x0)=y0 , y’(x0)=y’0..... 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 (微分方程) 第十二章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一 微分方程的基本概念 例1 一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点M(x,y)处的 切线斜率为2x, 求这曲线的方程. (1,2) M(x,y) 2x x y 解: 设所求的曲线方程为y=y(x),按题意,未知函数y(x)应满足 例2 放射性元素镭等会不断地放出射线而逐渐减少其质量（这种现象叫做衰变）经测定，其衰变的速率与元素剩余 的质量成正比。如果已知剩余物在时间t0的质量为 x0，求 它在任何时刻t的质量。 解： 其中x(t)为元素的质量,dx/dt表示衰变的速率,a为比例常数. 初始条件 t=t0, x=x0 将上式乘以dt/x,再积分,得到 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为 微分方程的阶,上面的微分方程都是一阶的. 是二阶微分方程 是四阶微分方程 微分方程的特解的图形是一条曲线,称为微分方程的 积分曲线.初值问题的几何意义是求微分方程通过点(x0,y0) 的积分曲线.