第一节微分方程的基本概念课件2.pptVIP

1、特征根为相异实根 : 是(1)的两个线性无关的特解, 则(1)的通解为 2、特征根为二重根 : 是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解. 设 代入方程(1): 取 得到另一个线性无关的特解 则(1)的通解为 线性无关特解 3、特征根为共轭复根: 是(1)的两个特解, 则(1)的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是： (1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； 　 (3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解. 例 1　求方程 y? - 2y? - 3y = 0 的通解. 　　解　该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 　 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所以方程的通解为 * 一、微分方程 第七章　微 分 方 程 第一节　微分方程的基本概念 二、微分方程的解 含有未知函数导数 (或微分) 的方程。 一、微分方程 1、微分方程： 常微分方程 (1) y?= kx, k 为常数； 　　例如： (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) mv?(t) = mg - kv(t)； 偏微分方程 (4) (5) 2、微分方程的阶—— 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。 3、n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y?, ?, y(n)) = 0， 其中 x 是自变量， y 是未知函数。 例如 mv?(t) = mg – 　代入微分方程后使其成为恒等式的函数。 二、微分方程的解 3、特解： 1、微分方程的解： 2、通解： 不含任意常数的解，即确定的函数。 含有独立的任意常数，且个数与阶数相同。 例如 y? = 2x y = x2 + C y = x2 ， y = x2 + 1 （特解） （通解） 4、初始条件 （用来确定任意常数的条件）： 一阶: 二阶: 5、初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 二阶微分方程的初始条件是 一阶微分方程的初始条件是 例 1 验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程 y? + 2y? + y = 0 的解. 解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， y? = - 4e – x + xe - x, y? = 5e – x - xe - x, 将 y，y? 及 y? 代入原方程的左边， (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程， 得 有 　　　　　　　　　　　　　　　　所以该函数是所给二阶微分方程的解. 得 C = 2，故所求特解为 y = 2x2 . 例 2 验证方程 的通解 为 y = Cx2 (C 为任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解. 解 由 y = Cx2 得 y? = 2Cx, 将 y 及 y? 代入原方程的左、右两边， 左边有 y?= 2Cx， 所以函数 y = Cx2 满足原方程. 又因为该函数含有一个任意常数， 所以 y = Cx2 是一阶微分方程 将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解， 2、验证函数 的解?并指出是通解？还是特解？ 作业： 特解的图象: 通解的图象: 微分方程的积分曲线. 积分曲线族. 第二节 几种常见的一阶微分方程 一、可分离变量方程 二、一阶线性微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y?) = 0. 一、可分离变量方程 例如：形如 解法: 1、分离变量: 2、两边积分: 3、得出通解: 只写一个任意常数 称为可分离变量的方程 例 1 求方程 解　分离变量，得 两边积分，得 这就是所求方程的通解． 例 2 求方程 解　分离变量，得 两边积分，得 化简得 另外，y = 0 也是方程的解， 因此 C2 为任意常数． 求解过程可简化为： 两边积分