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主要公式对比 第四节 生灭过程 1 生灭过程简述 生灭过程是每一次状态转移都发生在相邻状态之间的齐次马氏链 生灭过程有离散时间的也有连续时间的，我们以连续时间的生灭过程为例来学习 状态的变化只可能有三种情况：加1，减1，不变： 1 生灭过程概述 2 生灭过程 定义参数 ?i（?i0)－在i状态下（例如：系统中有i个顾客）的增（生）长率 ?i=qi, i+1 ?i (?i 0)－在i状态下的消（死）亡率?i=qi, i-1 qij=0 |i-j|?2 qii=-(qi, i+1+qi, i-1)=-(?i+ ?i) 3 生灭过程Q矩阵 5 生灭过程X的状态流图 无限状态的： m个状态的： 6 生灭过程的平稳分布 由连续马氏链求平稳分布的公式有： 6 生灭过程的平稳分布 由（1）可得 由此得 6 生灭过程的平稳分布 解得： 再由 若状态有限： （平稳分布必然存在） 若状态无限： （若级数收敛则平稳分布存在） 7 平衡方程的意义 从平衡方程可以推得 平稳状态下，瞬间流入状态i的流量与瞬间流出状态i的流量相等 7 平衡方程的意义 平稳状态下，瞬间从状态i流入状态i-1的流量与从状态i-1流入状态i的流量相等 8 例题 有一生灭过程，其状态空间E={0,1,2,…,k}，?j=(k-j) ? , j?k, ?j=j? 请： 画出状态流图 写出Q矩阵 平稳分布是否存在？为什么？ 若平稳分布存在，则求出其平稳分布 * * 连续时间马氏链 离散时间马氏链 平稳分布 瞬时分布 后向 方程 前向 方程 K-C方程 i i+1 i i-1 ?t 生 灭 不变 行和为0 主对角线及其上下两条平行斜线上有非零元素，其它所有元素均为0 若是有限个状态，则最后一个状态m，只能“灭”不能“生” 则在?t（充分小）时间内有： 2 1 0 3 i-1 i ?0 ?1 ?1 ?2 ?2 ?3 ?3 ?4 ?i－2 ?i-1 ?i－1 ?i ?i ?i+1 2 1 0 m-1 m 3 i ?0 ?1 ?1 ?2 ?2 ?3 ?3 ?4 ?i－1 ?i ?i ?i+1 ?m－2 ?m-1 ?m－1 ?m 2 1 0 3 i-1 i ?0 ?1 ?1 ?2 ?2 ?3 ?3 ?4 ?i－2 ?i-1 ?i－1 ?i ?i ?i+1 i ?i-1 ?i ?i＋1 ?i 2 1 0 3 i-1 i ?0 ?1 ?1 ?2 ?2 ?3 ?3 ?4 ?i－2 ?i-1 ?i－1 ?i ?i ?i+1