05工科组试卷解答.doc

湖州师院第二届《高等数学》竞赛试卷（工科组） 竞赛时间：2004年11月7日 8:00-11:00 下属学院--------------专业-------------班级---------学号---------成绩------- 一 二 三 四 五 六 一、计算题 1、求的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 解：= 令 则原式 2、计算积分 （选自2000年全国硕士研究生入学试题） 解：，由定积分的几何意义知，表示由上半圆与直线所围成的图形的面积。故 3、 求幂级数的收敛域，并求其和函数。 （选自1990年高数一、二硕士研究生入学试题） 解： （分别求出数和的和函数） 由可知幂级数的收敛半径为 收敛区间为，并且 因此 4、 求积分值 （选自《高等数学双博士课堂》） 解： 因为 故不是瑕点。但此反常积分还是可以这样处理： 而 故 二、求曲面和所围成的体积V和表面积S。 解： 由 得 故得 解得（舍去），所以投影区域 因为 三、计算曲线积分 其中是由位于第一象限中的直线段与位于第二象限中的圆弧构成的曲线，方向是由到再到 （选自《高等数学双博士课堂》） 解： 添加辅助线，使成为封闭曲线，故由格林公式，得 + = 四、 设函数在上连续，在内可导，其中且，试证明：在内必有一点。使 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 证：关键是要构造一个合适的辅助函数，使它符合罗尔定理的三个条件。令 ， 此函数显然在上连续，在内可导，且。由罗尔定理知：在内必有一点，使 即 ， 故得 五、求半径为的圆的内接三角形中面积最大者。 解： 设圆心到此内接三角形三个顶点所构成的圆心角分别为，则 圆内接三角形面积 令 得 或 当此时圆内接三角形缩为此三角形边界上的一段直线段，所以 此时为最大。 六、求证当时，对且有 （选自《高等数学双博士课堂》） 解： 设，则 当时，由当时单调上升。 当时，由当时单调递减。 是的极小值，即 当时。 1