第1章矢量.pptVIP

2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。 线元： 面元： 体元： 3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。 线元： 面元： 体元： a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即： b. 在柱坐标系中，坐标变量为 ,其中 为角度， 其对应的线元 ，可见拉梅系数为： 在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为： 注意： 在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这个修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。 体元： 线元： 面元： 正交曲线坐标系： 四、标量场的梯度 1. 标量场的等值面 可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。 以温度场为例： 热源 等温面 b.梯度 定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。 数学表达式： 2. 标量场的梯度 a.方向导数： 空间变化率，称为方向导数。 为最大的方向导数。 标量场的场函数为 计算： 在直角坐标系中： 所以： 梯度也可表示： 在柱坐标系中： 在球坐标系中： 在任意正交曲线坐标系中： 在不同的坐标系中，梯度的计算公式： 在直角坐标系中： 五、矢量场的散度 1. 矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。 2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。 表达式： 若曲面为闭合曲面： + - 讨论： a. 如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。 b. 如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。 c. 如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量等于穿出的通量。 3. 散度： 散度： a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.表达式： 在直角坐标系中选择一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 c.散度的计算： 矢量场 表示为： 通量计算式为 在 x方向上： 计算穿过 和 面的通量为 因为： 则： 在 x 方向上的总通量： 在 z 方向上,穿过 和 面的总通量： 整个封闭曲面的总通量： 同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量： 该闭合曲面所包围的体积： 通常散度表示为： 4.散度定理： 物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。 柱坐标系中： 球坐标系中： 直角坐标系中： 常用坐标系中，散度的计算公式 六、矢量场的旋度 六、矢量场的旋度 1. 环量： 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。 可见：环量的大小与环面的方向有关。 2. 旋度: 定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。 表达式： 旋度计算： 以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为： 场矢量： 其中： 为x 方向的环量密度。 旋度可用符号表示： 其中： 可得： 同理： 所以： 旋度公式： 为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式: 3. 斯托克斯定理： 物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。 七、重要的场论公式 1. 两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 在圆柱坐标系中： 在球坐标系中： 2. 拉普拉斯算子 在直角坐标系中： 作业： 1-1；1-4；1-12；1-15；1-18 下一次课交（要抄题目，作图要用尺，书写要规范） 电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 颜 辉 博士 教授、博士生导师 （理6-210） Email: yanhui@scnu.edu.cn 广东省量子调控工程与材料重点实验室 物理与电信工程学院 电磁场与电磁波 课程简介 本课程以“电磁学”为基础； 本课程是电子、通信专业后续课程的基础（如：微波技术）； 讲述宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算方法； 掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基本的电磁场工程问