9.2角动量的本征值与本征态.ppt

量子力学教程 量子力学教程(第二版) 9.2 角动量的本征值与本征态 9.2 角动量的本征值和本征态 在3.3.2节中，讨论了轨道角动量的性质.在第8章中 讲述了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量. 本节将更一般地讨论角动量的本征和本征态问题. 假设算符 满足下列对易式： （1） 则以 作为三个分量的矢量算符 ，称为角动 量算符. 以下根据式（1）和角动量算符的厄米性来求出角 动量的本征值和本征态. 定义 （2） 容易证明 （3） 角动量的对易关系式还有以下表示，首先定义 （4） 其逆表示式为 （5） 那么就有 （6） （7） （8） （9） 由于 和 对易，可以求它们的共同本征态 （10） 以下分几步进行. 对对易式 取矩阵元 计算得到 即矩阵元对于总角动量是对角的 （11） （a） （b）对对易式 取矩阵元 得到 利用式（10），计算得到 所以 （12） （c） 对对易式 取对角矩阵元 由矩阵元选择规则（12），只有以下矩阵元有贡献： 得到 再利用 ，可知 令 （13） 可得 上式化为 此式有解 由此可见磁量子数有上界 和下界 ，满足 （14） 由此得到 所以 计算得到 只相差整数，上界和下界也相差整数 由于相邻 所以 （15） 而 （16） （d）求 的本征值.按式（8），有 等式两边取平均值 （17） 利用式（10）和（12），得 再利用式（16），可求出 这样角动量本征态写为 (19) （18） 按上面分析 所以 （d） (21) (22) 的矩阵元.利用式（11）、（13） 和（16），可得出 其中 是任意正实数，习惯上取为零，这时矩阵元 为实数 (20)