9.1直线方程与两直线的位置关系.doc

第九章 直线与圆的方程 §9.1 直线方程与两直线的位置关系 【知识梳理】 一、 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴① 与直线l② 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为0°. (2)倾斜角的取值范围：③ . （3）的函数图象： 2．直线的斜率 (1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的④ 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝⑤ ，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在． (2)经过两点、的直线的斜率为⑥ . (3) 应用：证明A,B,C三点共线⑦ . 二．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ⑧ 不含垂直于x轴的直线 斜截式 ⑨ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 ⑩ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零) 平面直角坐标系内的直线都适用 注：(1)直线方程的各种形式都有局限性；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.（3）直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. 4.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1. (2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1. (3)若x1≠x2，且y1≠y2时，方程为＝. 5. 设直线方程的常用技巧 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解.因此根据题设条件选择相应的直线方程是解题的关键，常用的设法技巧如下： （1）知直线纵截距，常设其方程为（需保证斜率存在）； （2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为； （4）与直线平行的直线可表示为； （5）与直线垂直的直线可表示为. 5．重要的坐标公式 (1)若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则? 此公式为线段P1P2的中点坐标公式． (2)若△ABC的三个顶点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，则△ABC的重心为. 三、两条直线平行与垂直的判定 1.两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2?? ，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． 2.两条直线垂直 ①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2?? . ②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 3.直线与直线的位置关系的判断 （1）平行? （斜率）且 （在轴上截距）； （2）相交? ； （3）重合且； （4）垂直? . 注：、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！ 4．两直线相交 交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行?方程组无解；重合?方程组有无数个解． 四．三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝? . 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2) 点到直线的距离? . 注：求点到直线的距离，需先把直线方程化成一般式. (3) 两平行线间的距离为? . 注：求两条平行线间的距离，需保证两条直线的前面的系数对应相等. 答案：①正方向；②向上方向；③[0，π)；④正切值；⑤tanα；⑥k==； ⑦；⑧y－y1＝k(x－x1)；⑨y＝kx＋b；⑩＋＝1(ab≠0)； ?；?k1＝k2；?k1k2＝－1；?且； ?；?；?； ?；? . 【课前自测】 1．【教材习题改编】直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为 (　　) A．30°　　　　　　　　　　B．60° C．150° D．120° 答案：B 提示：∵k＝＝tanα而0°≤α＜180°，∴α＝60°. 2.