矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解辩析.pptVIP

5.2 矩阵对角化 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 三、利用相似变换将方阵对角化 作业 P200 8，9，10 P203 13 6.3 实对称矩阵的相似标准形分解（即对角化） 一、对称矩阵的性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 四、正交矩阵与正交变换 四、正交矩阵与正交变换 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 三、小结 思考题 思考题解答 四、小结 思考题 思考题解答 　　 为正交矩阵的充要条件是 的行向量都 是单位向量且两两正交． 定理： 　　 为正交矩阵的充要条件是 的行向量都 是单位向量且两两正交． 定义4 定理 例3 判别下列矩阵是否为正交阵． 所以它是正交矩阵． 由于 例3 判别下列矩阵是否为正交阵． 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 ，其具体步骤为： （若特征向量不正交） 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 于是得正交阵 （1）正交化，取 ， ６ 求规范正交基的方法 （2）单位化，取 施密特正交化过程 （1）正交化，取 ， 例3 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得规范正交向量组如下 1.　对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； 　 (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2.　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 　 (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)最后单位化． * 1. 等价关系 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 定理 证明 　　　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 　　　如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化． 证明 命题得证. 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. A能否对角化？若能对角 例2 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. 该问题较复杂. 一个 阶矩阵具备什么条件才能对角化？ 下面仅讨论 为对称阵的情形. 问题： 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵． 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 证明 于是 由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交. １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 证明 ３ 正交向量组的性质 （此定理不证） 定义4 （i）若 为正交阵，则 也是正交阵， 且 或-1. 正交矩阵的性质： （ii）若 和 都是正交阵，则 也是正交阵. 定义4 *