2007年全国高中数学联赛题及详细解析2007年全国高中数学联赛试题及详细解析2007年全国高中数学联赛试题及详细解析2007年全国高中数学联赛试题及详细解析.docVIP

2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ） 6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。 8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6， ，若，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于________。 11. 已知函数，则f(x)的最小值为________。 12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。[来源:学科网ZXXK] 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 设，求证：当正整数n≥2时，an+1an。 14. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。 15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A?PB?C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+100成立的事件发生的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a?2b+100得2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为。 4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（ ） A. B. C. ?1 D. 1 【答案】D [来源:Z#xx#k.Com] 5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ） 【答案】A 【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。 当r1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当02c|r1?r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。 6.