2001年全国高中数学联赛题及详细解析2001年全国高中数学联赛试题及详细解析2001年全国高中数学联赛试题及详细解析2001年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

二○○一年全国高中数学联赛 （10月4日上午8：00—9：40） 题号21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（　　）．　3333 　　B）3666　　C）3999　　D）32001 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（　　）．　2枝玫瑰价格高　　B）3枝康乃馨价格高C）价格相同　　　　 D）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则z1z2= 。 9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 ，则直线A1C1与BD1的距离是 。 10、不等式的解集为 。 11、函数的值域为 。 14、设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。 求实数m的取值范围（用a表示）； O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。 15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1a2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。 二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题 （10月4日上午10：00—12：00） 学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、（本题满分50分） 如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。 二、（本题满分50分） 设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且，求的最大值与最小值。 三、（本题满分50分） 将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。 2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一．选择题：CBDDCA 2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．　 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；　 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．　以上三个命题中正确的有（　　）．　 Ａ．0个　　Ｂ．1个　　Ｃ．2个　　Ｄ．3个　由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．　4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（　　）． Ａ．　　　　　Ｂ．0＜ｋ≤12　Ｃ．ｋ≥12　　　　　　 Ｄ．0＜ｋ≤12或　这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论Ｄ．　说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．　5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（　　）．　Ａ．3333　　Ｂ．3666　　Ｃ．