2002年全国高中数学联赛题及参考答案2002年全国高中数学联赛试题及参考答案2002年全国高中数学联赛试题及参考答案2002年全国高中数学联赛试题及参考答案.doc

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 　　1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（　　）。 　　　　（A）（－∞,－1）　　（B）（－∞,1）　　（C）（1,＋∞）　　（D）（3, ＋∞） 　　2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（　　　）。 　　　　（A）2　　　（B）1　　　（C）√3　　　　（D）√2 　　3、函数f(x)=x/1-2x-x/2（　　　） 　　　　（A）是偶函数但不是奇函数　　　　　（B）是奇函数但不是偶函数　　　　（C）既是偶函数又是奇函数　　　　　（D）既不是偶函数也不是奇函数 　　4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（　　　）。 　　　　（A）1个　　　　（B）2个　　　　（C）3个　　　　（D）4个 　　5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（　　　）。 　　　　（A）C50100　　　　（B）C4899　　　　（C）C49100　　　　　（D）C4999 　　6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（　　　）。 　　　　（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分） 　　7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=　　　　　。 　　8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有　　　　　个。 　　9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有　　　　个。 　　10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=　　　　。 　　11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是　　　　。 　　12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是　　　。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 　　13、已知点A（0,2）和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。 　　14、如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。　　（1） 求数列｛Sn｝的通项公式；　　（2） 求limSn.　　　　　　n→∞ 　　15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：　　（1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;　　（2） 当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2;　　（3） f(x)在R上的最小值为0.　　求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。 参考答案 一、 选择题 　　1、 由x2-2x-3＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x＜-1或x＞3。二次函数u=x2-2x-3在（-∞，-1）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增，故选A。 　　2、(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(-5,12)为圆心，半径为14的圆。设P为圆上任一点，则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1　　当点C、O、P共线时，等号成立，所以P到点O的最小值为1，故选B。 　　3、函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1