上海市彭浦中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 含解析.docVIP

上海市彭浦中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 一、填空题（每小题5分，总分40分） 1．（5分）直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量恰为l2：3x+（a﹣5）y﹣2=0的一个法向量，则实数a的值为． 2．（5分）若行列式中第一行第一列元素3的代数余子式的值为2，则该行列式的值为． 3．（5分）已知实数a满足，则a的取值范围为． 4．（5分）已知向量与夹角为60°，，，则=． 5．（5分）已知，若直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（用反三角函数表示）． 6．（5分）用数学归纳法证明恒等式++…+=1﹣+﹣+…+﹣，则从n=k到n=k+1时，左边要增加的表达式为． 7．（5分）过点P（1，4）的直线l在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，直线l的方程为． 8．（5分）如图所示：在△AOB中，∠AOB=，OA=3，OB=2，BH⊥OA于H，M为线段BH上的点，且=，若，则x+y的值等于． 二、解答题（共计4题，总共60分） 9．（ 15分）已知数列ξ中，a1=0，an+1=（n∈N*）． （1）计算a2，a3，a4； （2）猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明． 10．（15分）在坐标平面内，给定向量，对任意非零向量，其关于变换的向量为 （1）若，求； （2）若，求． 11．（15分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（2，1），B（0，﹣1），C（﹣2，1）和两点D，E满足，． （1）求直线DE的斜率k的取值范围和倾斜角α的取值范围； （2）求线段DE的长度的最小值，并求出此时直线DE的方程． 12．（15分）将模为的向量绕点O逆时针旋转且模变为原来的得到向量，讲向量绕点O逆时针旋转且模变为原来的得到向量，…，仿此无限进行下去，记△OA1A2的面积为a1，△OA2A3的面积为a2，…，△OAnAn+1的面积为an，… （1）求所有这些三角形的面积和； （2）对于数列{an}，能否从中取出无限项组成一个新的等比数列{bn}，使得数列{bn}的各项和为数列{an}的各项和的？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，写出理由． 上海市彭浦中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题5分，总分40分） 1．（5分）直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量恰为l2：3x+（a﹣5）y﹣2=0的一个法向量，则实数a的值为2． 考点： 直线的方向向量． 专题： 平面向量及应用． 分析： 直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量为（2，﹣a）；l2：3x+（a﹣5）y﹣2=0的一个法向量为（3，a﹣5），因此存在实数λ使得（3，a﹣5）=λ（2，﹣a），解出即可． 解答： 解：直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量为（2，﹣a）； l2：3x+（a﹣5）y﹣2=0的一个法向量为（3，a﹣5）， ∴存在实数λ使得（3，a﹣5）=λ（2，﹣a）， ∴， 解得a=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查了直线的方向向量、法向量，考查了计算能力，属于基础题． 2．（5分）若行列式中第一行第一列元素3的代数余子式的值为2，则该行列式的值为6． 考点： 三阶矩阵． 专题： 矩阵和变换． 分析： 首先，根据该行列式中第一行第一列元素3的代数余子式的值为2，建立等式，得到x=0，然后，计算该行列式的值即可． 解答： 解：∵行列式中第一行第一列元素3的代数余子式的值为2， ∴x+2=2， ∴x=0， ∴行列式值为：3×1×0+2×（﹣2）×0+0×2×0﹣0×1×0﹣1×（﹣2）×3﹣0×2×2 =6． 故答案为：6． 点评： 本题重点考查了行列式的概念、计算方法、代数余子式的概念等知识，属于基础题． 3．（5分）已知实数a满足，则a的取值范围为（﹣1，1]． 考点： 极限及其运算． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 实数a满足，可得=0或1，因此|a|≤1，且a≠﹣1．解出即可． 解答： 解：∵实数a满足， ∴=0或1， ∴|a|≤1，且a≠﹣1． 解得﹣1＜a≤1． ∴a的取值范围为（﹣1，1]． 故答案为：（﹣1，1]． 点评： 本题考查了数列极限的运算性质，考查了推理能力，属于基础题． 4．（5分）已知向量与夹角为60°，，，则=5． 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到． 解答： 解：由向量与夹角为60°，，， 则=||?||?cos60°=2×=3， 则有=2=2×4﹣3=5． 故答案为：5 点评： 本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方．考查运