空间向量运算的坐标表示课件.pptVIP

* * 3.1　空间向量及其运算 3.1.5　空间向量运算的坐标表示 空间向量与立体几何 1．进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念，并能熟练运用． 2．通过向量坐标表示，能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题． 3．了解平面法向量的概念． 基础梳理 1．若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫____________，用{i，j，k}表示； 2．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b2)， 则a＋b＝_______________________， a－b＝_______________________， λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)， a·b＝___________________， a∥b?__________________________________ ， a⊥b?___________________. 单位正交基底 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 6．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则| |＝ ＝________________________________. 7．法向量的计算：设n⊥a且n＝(x，y，z)，在平面a内取向量p＝(a，b，c)，q＝(d，e，f)，由n⊥p?xa＋by＋cz＝0，n⊥q? xd＋ye＋fz＝0，联立方程，求解． 自测自评 1．下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)； ②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)； ③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可写成(0,0，c)； ④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c).其中正确的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　　C．3　　　　D．4 C 2．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(　　) A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4) C．(3,1,4) D．(3，－1，－4) 3．下列命题错误的是 (　　) A．点(x，y，z)关于xOy平面的对称点是(x，y，－z) B．点(x，y，z)关于yOz平面的对称点是(－x，y，z) C．点(x，y，z)关于zOx平面的对称点是(x，－y，z) D．点(x，y，z)关于原点的对称点是(－x，－y，z) A D 空间向量的坐标运算 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． 解析：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 跟踪训练 1．设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：①x⊥a；②|x|＝10；③x在yOz平面上． 答案：x＝(0,4 ，2 )或x＝(0，－4 ，－2 ) 空间向量平行与垂直条件的应用 证明：a⊥b，c∥d. 分析：要证a⊥b，就是证a·b＝0；要证c∥d，需证c＝λd(λ∈R)． 跟踪训练 2．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a ＝ ，b＝ ，若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 解析：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2k，k，－4)． ∵ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4) ＝(k－1)(k＋2＋k2)－8＝0， 即2k2＋k－10＝0，∴k＝－ 或k＝2. 空间向量的夹角问题 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为 ，则λ等于(　　) A．2　　B．－2　　C