点集拓扑-重庆师范大学-数学学院.doc

课 程 教 学 大 纲 (理论课) 课 程 名 称： 点集拓扑学 适 用 专 业： 数学与应用数学 课 程 类 别： 学科知识深化课程 制 订 时 间： 2006年8月 数学与计算机科学学院 制 《点集拓扑学》课程教学大纲 （2000年制订，2006年修订） 一、课程代码： 0501142012 二、课程类别： 学科知识深化课程（选修） 三、预修课程： 数学分析、实变函数 四、学　 分： 3学分 五、学 时： 54学时 六、课程概述： 本课程是高等师范院校数学专业的一门限选课程。它的主要任务是介绍集合论、拓扑空间、子空间、积空间和拓扑基的概念和基本性质，连续映射的基本概念和性质，连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的基本内容以及它们之间的关系等。 本课程是数学分析的一门后继课程，是进一步学习概率论、偏微分方程、泛函分析、微分流形等课程的基础课，也是更深入研究数学的必要的基础课。 七、教学目的： 《点集拓扑学》是现代数学中一门较新的数学分支，它用公理化方法建立开集和邻域，从而形成一个集合的拓扑结构。进而又讨论了在这一框架下空间的性质,如连续映射、连通性等问题。拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。它在许多数学分支中有广泛地应用。现在，点集拓扑已经发展成为内容丰富、方法系统、体系完备、应用广泛的分支。通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。 八、学时分配表 教学内容(章) 理论学时 实验学时 习题课 其它 备注 第一章 朴素集合论 10 第二章 拓扑空间与连续映射 18 4 第三章 子空间，积空间，商空间 8 2 第四章 连通性 10 2 九、教学基本内容： 第一章 朴素集合论(10学时) 教学要求： 本章是学习点集拓扑学的必备知识，要求学生熟悉集合的概念及其运算，理解关系、等价关系、序关系、映射的概念及相互间关系和有关映射的性质，熟悉一一映射、单射等概念，熟悉集族及其运算，熟悉集族笛卡尔积的定义，理解可数集及有关可数集结论，理解可数集与不可数集的区别与联系。 教学内容： 一、集合的基本概念 弄清集合的基本概念、熟练掌握并运用集合的定义及其表示方法。 二、集合的基本运算 熟练掌握并运用集合的并、交、差、余的定义和运算方法，理解定律的含义。 三、关系 深刻理解关系与笛卡儿积的概念，掌握关系的运算和复合。 四、等价关系 熟练掌握等价关系的定义，深刻理解利用等价关系来构造商集的方法。 五、映射 熟练掌握映射、单射和满射的定义，深刻理解映射的限制和扩张的含义。 六、集族及其运算 熟练掌握集族的并、交的定义，理解集族的并交运算性质。 七、可数集，不可数集，基数 深刻理解可数集、不可数集、基数的定义，并了解定理的证明和连续统的假设。 八、选择公理 了解选择公理，理解选择函数的定义。 第二章 拓扑空间与连续映射(22学时) 教学要求： 本章是点集拓扑学的核心内容,包含了一般拓扑空间所要用到的基本概念、基本知识，要求理解掌握拓扑空间的定义，邻域基与邻域子基、极限、闭包、闭集、度量空间等基本定义及其相关的基本性质，理解、领会、掌握连续映射的定义，以及用邻域、拓扑基、拓扑子基等对连续映射的等价刻化，掌握度量空间之间连续映射的特点及等价刻化，掌握连续映射的性质，理解一些特殊的连续映射及拓扑性质的概念。以后各章的内容均以本章为基础展开的。 要求掌握的基本技能有：拓扑空间的验证，拓扑基验证，极限、闭包、内部等计算及有关性质的证明。 掌握的技能是：熟练运用连续的定义及其等价刻化对一个映射连续性质作出正确地判断及证明。熟练掌握的技能是：应用开集、拓扑基、拓扑子基对连续映射的刻化，对一个映射的连续性质作出证明。 教学内容： 度量空间与连续映射 熟练掌握度量空间与连续映射的概念，理解几个特殊度量空间中 度量的定义。 拓扑空间与连续映射 熟练掌握拓扑空间与连续映射的概念，理解几个特殊拓扑空间中 拓扑的定义。 三、邻域与邻域系 熟练掌握拓扑空间中邻域与邻域系的概念，掌握用邻域刻化连续的方法。 导集，闭集，闭包 熟练掌握导集、闭集、闭包的概念，深刻理解其运算性质。 内部，边界 掌握内部、边界的定义，理解内部的构造。 六、基与子基 熟练掌握基与子基的概念，掌握用基与子基刻化连续的方法，深刻理解基与子基生成拓扑的方法。 七、拓扑空间的序列 熟练掌握拓扑空间中序列的收敛性，理解与度量空间中序列的收敛性之间的关系。 第三章 子空间，（有限）积空间，商空间(10学时)