欧拉公式的发现与证明.ppt

* * 欧拉公式的 发现与证明 一、教材分析 1．教材的地位与作用 欧拉公式是在学习了多面体（棱柱、棱锥、棱台）之后，作为研究性学习的课题而安排的，通过学习不仅可进一步探讨多面体的一般性质，还可让学生获得亲身参与研究探索的体验，激发学生的学习热情，拓展学生的视野。 2．教学目标 知识目标： 能力目标： 1）理解欧拉公式的表达式及欧拉公式的证明； 2）会用欧拉公式解决某些数学问题。 1）通过探究欧拉公式的发现过程，培养学生观察与实践、联想与类比、抽象与概括的能力。 2）通过欧拉公式的证明与应用，培养学生的逻辑推理能力和探究创新能力。 通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生良好的意志品格，激励学生大胆猜想，善于发现，勇于创新的精神。 情感目标： 3.教学重点与难点 重点：探究欧拉公式的发现过程。 难点：欧拉公式的证明。 二、教法分析 从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步一步地进行归纳和猜想，得出平面网络的定义及平面网络中点、线、面之间的数量关系：V+F-E=1，再联想类比，引申到空间中的多面体，研究多面体中点、线、面之间的数量关系，发现欧拉公式V+F-E=2 三、过程分析 （一）引入课题 1.介绍欧拉 2.七桥问题 (二)探讨研究 1．网络的定义 2.观察平面网络图形，猜想V、E、F之间的规律 3.证明猜想:V+F-E=1 4.联想：多面体中的V、F和E之间关系 5.证明凸多面体中 V+F-E =2 欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学 的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清． 欧拉还创设了许多数学符号，例如π，i，e，sin和cos，tg，Σ，f(x) 等等。 由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛。766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究，凭着记忆和心算解决了许多数学上的难题，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章。 欧拉的一生是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。 　　 2.七桥问题  十八世纪，北欧的哥尼斯堡城建在普雷格尔河畔，河中有两个小岛，全城由七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图)。 当时，那里的居民都热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎么才能一次走遍七座桥，每座桥只经过一次，最后又回到出发点? 这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此他用点A、D表示两个小岛，点B、C表示河的左右两岸。再用连接两点的线表示桥，从而得到一个由4个点和、7条线组成的图形(如图) 利用这个图形，问题就变成能否一笔画出这个图形，并且最后返回起点的“一笔画”问题。 善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为其绞尽脑汁而百思不得其解的难题，引起了人们的惊叹和赞赏。但欧拉并没有满足于七桥问题的解诀，而是以此为基础，研究了超出通常欧几里德几何范围的几何问题，从而奠定了称之为“网络论”的几何学科的基础。 1．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一 条线段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫做网络的顶点。 在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个点，两点间又有几条线段连接。 (二)探讨研究 网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。 观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。 ? 顶点数V 边数E 面数F 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） ? ? ? 1 4 9 6 图（4） 1 4 7 4 图（3） 1 0 5 6 图（2） 1 1 2 2 图（1） V-E+F F面数 E边数 V顶点数 (1) (2) (3) (4) 证明猜想：V+F-E =1 网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F保持不变。 如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边同时去掉，则V减少