水面线计算迭代求解的牛顿下山法.docVIP

江河水面线计算迭代求解的牛顿下山法 摘要：本文对比了迭代法、牛顿法和牛顿下山法运用于江河水面线计算的差异，对以上各算法的收敛性进行了探讨，并提出了牛顿下山法计算江河水面线的公式和方法。 关键词：水面线计算；迭代求解；牛顿下山法 1 前言 水面线计算是涉河工程的常遇问题。水面线计算通常采用能量方程求解，能量方程往往会产生双解问题[1]，计算方法采用不当，会有可能求得假解，使计算结果与实际情况不符。迭代法是现行软件中常用的计算方法，但在运用中存在一些缺陷。笔者在分析多种迭代解法的基础上，选择牛顿下山法作为能量方程求解的迭代算法。 江河水流流速不大，通常均为缓流（。为控制在分段计算过程中传播的误差不致影响成果精度，缓流流态的江河水面线通常适宜从下游向上游推算[2]。因此本文仅针对从下游向上游推算江河水面线的方法进行探讨。 2 江河水面线计算的基本方程 江河水面线计算通常采用能量法，基本方程[3]为： ………（1） 式中： —上游断面的水位； —下游断面的水位； —上游断面的流速； —下游断面的流速； —上游断面的动能校正系数； —下游断面的动能校正系数； —河道平均局部阻力系数； —计算河段的长度； —河道平均流量； —河道平均流量模数，取； —上游断面的流量模数； —下游断面的流量模数； 为方便后续讨论，将（1）式变形为： ………（2） 3 迭代法的基本原理及在水面线方程求解中的缺陷 对于方程，可按以下步骤求解[4]： 步1 准备：提供迭代初值; 步2 迭代：计算迭代值； 步3 控制：检查，若(为预先指定的精度)，则用替代转步2继续迭代；当时终止计算，取为所求的结果。 对于能量方程，已知下游水位求上游水位时，为已知值，（2）式可变形为下式： ………（3） （3）式中的和均为水位的函数，其余项均为常数项。显然，（3）式符合方程，故可采用迭代法求解方程。 迭代法求解方程在方程解的邻域内局部收敛是有条件的，仅当时，迭代法才收敛[4]。因此，采用迭代法直接求解能量方程是存在一定缺陷的，本文将进一步寻找其它收敛性更强的算法。 4 牛顿法和牛顿下山法的基本原理 对于方程，牛顿法按以下步骤求解[4]： 步1 准备：提供迭代初值，计算，; 步2 迭代：计算迭代值；计算，； 步3 控制：检查，若(为预先指定的精度)，则用替代转步2继续迭代；当时终止计算，取为所求的结果。 对于能量方程，已知下游水位求上游水位时，为已知值，（2）式可变形为下式： ………（4） 显然，（4）式符合的方程，可用牛顿法求解水面线方程。对于牛顿法，存在方程的解的邻域牛顿法无条件收敛；但如果初值偏离较远位于局部收敛邻域外时，牛顿法仍可能是发散的。为了防止初值的偏差造成迭代发散，采用下山法[4]强制迭代数列收敛，使每一步迭代均满足，强制迭代收敛。引入下山因子（，将步2调整为： 步2 迭代：先计算迭代值；再计算迭代值，计算，。 下山因子的选择是个逐步探索的过程，可从开始反复折半试算，直至能满足条件使迭代数列收敛。 5 水面线方程的导数计算 为采用牛顿下山法，需要计算函数的导数。将和两式代入函数求导，有： ………（5） 式中： —糙率； —过水面积； —水力半径； 考虑到江河水面线大多为宽浅式，近似概化为宽浅矩形河槽，引入以下数式： 、、 式中： —河道宽度； —水深； —湿周； 于是，（5）式可简化为： ………（6） 水面线方程的导数可以采用（5）式差分计算，也可以采用近似简化的（6）式计算。 5 水面线迭代计算的初值和牛顿下山法的求解步骤 能量方程计算水面线往往会产生双解[1]，因此尽管牛顿下山法算法收敛，从数学上可以求得离初始解较近的理论解，但该理论解仍有可能是假解，初值的选择仍然是十分重要的。注意到江河水面线计算的上、下游流速差有限，略去项的简化公式仍有相当高的计算精度，因此可将（2）式简化为[5]： ………（7） 注意到为变量的单调增函数，即0。于是有，即为单调增函数，（7）式必然只有一个解。对于单调增函数，采用逐步有哪些信誉好的足球投注网站法、二分法、迭代法等诸多算法都是很容易求解的，算法也是稳定的，该解答作为牛顿下山法的迭代初值是十分合适的。 采用牛顿下山法计算水面线的步骤为： 步1 准备：采用（7）式计算初始解，采用（2）式计算，用（5）式或（6）式计算； 步2 迭代：先计算迭代值；再选择值计算迭代值，计算，； 步3 控制：比较和，如果则转步4，否则取重回步2计算； 步4 控制：检查，若(为预先指定的精度)，则用替代转步2继续迭代；当时终止计算，取为所求的结果。 6 结语 迭代法是水面线计算常用的算法之一，但是在收敛性上不能得到充分保证，不能保证在所有河段上均能适用。牛顿法采用了切线逼近，逼近速度快，具有局部收敛性，但计算过程中收敛受