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函数对称性的探究 　　【摘 要】函数的对称性是函数的一个基本性质，其中既有函数自身的对称性又有不同函数之间的对称性，性质结论复杂且繁多，既是高中数学学习的一个难点，也是高考考查的重点，广泛存在于数学问题之中。笔者通过对函数自身的对称性和不同函数之间的对称性两个方面的探讨和归纳，希望能对读者有所帮助。 　　【关键词】函数对称性 周期性 内部对称 外部对称 　　【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）30-0096-02 　　函数是高中数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。笔者拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 　　一 函数自身对称性的探究 　　定理1，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b。 　　证明：（必要性）在y=f（x）图像上任取一点P（x，y），则点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P’（2a-x，2b-y），点P’也在y=f（x）图像上，∴2b-y= 　　f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b。 　　（充分性）在y=f（x）图像上任取一点P（x0，y0），则y0=f（x0） 　　∵f（x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0） 。 　　故点P’（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P’关于点A（a，b）对称。 　　特别的：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。 　　定理2，函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是： 　　f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）（证明留给读者） 　　若写成：f（a+x）=f（b-x），函数y=f（x）关于 　　直线 对称。 　　特别的：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）。 　　定理3，（1）若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。（2）若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。（3）若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。 　　以下给出（1）的证明： 　　证明：函数y=f（x）的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则f（2a+x）+f（-x）=2c，f（2b-x）+f（x）=2c。 　　所以f[2（a-b）+x]=f[2a+（-2b+x）] 　　=2c-f[-（-2b+x）]=2c-f（2b-x）=2c-[2c-f（x）]=f（x） 　　所以2|a-b|是它的一个周期。 　　读者可试证（2）（3）。 　　应用举例： 　　例1，（2009全国卷）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ） 　　A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数 　　C.f（x）=f（x+2） D.f（x+3）是奇函数 　　解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数 　　∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1） 　　∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数 　　∴f（x+3）=f（x-1+4）=f（x-1）=-f（-x-1）=-f（-x-1+4）=-f（-x+3） 　　∴f（-x+3）=-f（x+3），即f（x+3）是奇函数。故选D。 　　例2，设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（10-x）=f（10+x）与f（20-x）=-f（20+x），则f（x）是（ ） 　　A.偶函数，又是周期函数。 　　B.偶函数，但不是周期函数。 　　C.奇函数，又是周期函数。 　　D.奇函数，但不是周期函数。 　　解：T=4|a-b|=4|20-10|=40 　　∴f（-x）=f（-x+40）=f[10+（30-x）]=f[10-（30-x）]=f（x-20）=f（x-20+40）=f（x+20）=-f（20-x）=-f[10+（10-x）]=-f[10-（10-x）]=-f（x） 　　所以为奇函数。故选C。 　　例