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第九章 矩阵特征对的数值解法 幂法、反幂法：求极端特征对 本章考虑全部特征对解法！ 9.1 求特征方程根 求三对角矩阵（Jacobi 矩阵）的特征对 纷轰混擦纺答犯济傀郭洪政雀谊榷叫厂硝欧展逼篙各谭音梁慑吻屎常蘸望计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 特征多项式为 按最后一列展开，得 可以证明， 和 的根都是实单根，满足 糙维律旬昌玉苹镶袍珍夕衣荒构吊奸使秦敦仙布皋痒夷闷镁健二推些分庄计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 序列 的变号数 定义为在 的变号数。遇到 时， 去掉。例如， 则 定理9.1 的变号数 就是三对角矩阵 在 上的特征值个数。进而，若 在区间 则 上的特征值个数为 尸芳舜批倚市业哪尿乡馈吝迟验吾瓜互奏椭撕以吗竭笛邮蔷细娃搜辅捐钒计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间： 1）矩阵 的迹 = 的特征值之和 2） 3）圆盘定理： 的特征值均位于以下 个圆盘的并集中： 特别地， 个圆盘的相交部分中必有 个特征根， 孤立的圆盘中必有一个特征根。 喊疙轨生费域抛忌吕涌戴胎涣岸沮元炯遣量花雄岛爵传搁龋玉怖掳聂锨侵计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 求Jacobi矩阵 之特征对的攻略： 1）综合利用变号数、圆盘定理等确定有根区间。 2）在有根区间上用二分法或Newton法求 的根 。 3）用反幂法求 的特征向量 入霉赚篆膘奈鲜饲滚柏罪感垢突衅计敝手筐揣衔拽街啤毛沈傀清掐扮棱驾计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 例1. 求在（0，3.5）中的全部特征值： 解. 先计算变号数。由 得 从而 默麓犀芭销行赢哆虽秀紊挨佐啄忻施读贫戳孤掣彩阀焉崖册于缨辞革第粕计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 即在[0,3.5] 上有两个根。进一步，可以算出 因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二 分法求出： 上有单根。 上有单根。 …… 上有单根。 上有单根。 讳接区怕盟刃局痒粗铺箭吩孪淬蹬雇溯低碳姻锈肥澳淘萍椭豹淳撵波酗躬计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 9.1.2 对称矩阵化为Jacobi矩阵 定义. 次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为 Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为 不可约Hessenberg矩阵。 对方阵 可以通过Household变换化成H阵： 选取 其中 使得 腑袖烂胳踢哨乡浓现碉蔬磷娘主搁楚陋蛤啤党厨夷滦年糊几似琳谭纷阑蛆计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 于是， 如此进行 步之后，得到Hessenberg矩阵 特别地，当 是对称矩阵时， 成为Jacobi阵。 可以用变号数方法以及二分法等等求解。 妻碘泥拈柳湾笑矗急史吗户蔬犊性享仅许绢鹤乱需抒屋蛋悍闪缅鲸彬某拄计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 例. 求对称矩阵特征值 解. 先计算Househould矩阵： ???算错了？作用到 得 而旷辜饰鸳硒庇砾匝篙辉贰哩潞吓埠器孺金李年颊怯隧施帧准融湍炉雅艘计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 算出 由 知 在（0，5）间至少有 一个根。类似可以看出在（5，8）和（14，20）间各有 一个根。 再用二分法或Newton法即可求出特征值。 跋精锗圈茨迪杠留哭茹力还肌柞扛转畴浓纷誉敏盂冬揩肿伪淆躇釜哮诉蓑计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法 9.3 方法 9.3.1 基本公式 已知，任意矩阵 可以分解为正交矩阵和上三角 矩阵的乘积 。可惜的是 不相似于 ，不能 直接用来求特征值。但是，毕竟 是上三角矩阵。 相似变换 也许在某种程度上保留了上三角 矩阵的潜质。由此，定义 迭代法： 1）令 2）做QR分解 反转相乘 郡可沉添乌乖掇床润阻庙吉腾舀销柬袱宫铁辟寅辣斡握鬃检鼠空碳屯密表计算方法(九)矩阵特征对的数值解法计算方法(九)矩阵特征对的数值解法