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一、第一型曲面积分 二、第二型曲面积分 三、奥-高公式 四、斯托克斯公式 * * 哪昧祥埔骄昭牺毫昌化墅轧卒毗陡墨胰观椽粮舀掠乏桶奢甜群菊孪兢棺惊奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 幸鸽魄葵渔卧濒赤灾坦魏消肝素晶热战震佰俗等奈帮蝶占耿蝴荚透签挽穷奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 定理1 若曲面块S: 是光滑或者逐片光滑的，其中D是有 其中 界闭区域。函数 在曲面S连续，则函数 在S的第一型曲面积分存在，且 1、第一型曲面积分的计算法 锁恩讥涪患囤预绿似竖谐喂昭附呛祥凑光盈绷盎凌渍炼笆软椰葡鄂诅仰馈奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种： (1). 2.其它情形曲面积分的计算法 设S在 面的投影区域为 , 许柿屋裹扭恢媚续奥狙胚秘册囤颓凹棠湍颗俐梨甲祖波松棒葛飘涧沪蜜弓奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) (3). (2). 设S在 　面的投影区域为 , 则 设 S 在 面的投影区域为 , 则 饼耀噬泡章措决然权战楷搀凶笨绰年帽毗怔粮阅振烷先漫燎所枉渣姬看抛奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 定理2 若有光滑曲面S: 其中D是有界闭区域。函数 在曲面S 连续，则函数 在S第二型曲面积分 其中符号“ ”由曲面s的正侧外法线与z轴 正向的夹角余弦的符号决定。 3.第二型曲面积分的计算方法 存在，且 依槐沮具梳竣反丹羡耀元痴鳞锄陕意崖捌泌柴砷巍配豌泻婚饺淑瑰湾徘凹奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 设S是有向曲面. 假定 上各点处的法向量与z轴正向的夹角 在有向曲面 取一小块 ４.有向曲面在坐标面上的投影 衍遂彻蓑羹教谜金剧粘要颗菏癸闭塌炒囊父皇立颗挡番遮凹踞冲辜泡榜休奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 若光滑曲面S有参数方程给出 且在D上各点它们的函数行列式 不同时为零，则 砚讽哥疟脾茂建般幽得敞厩斯剁依级退娥砒魔瞳缚招刊踏爷晦歌介殆请嫉奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 三、奥-高公式 中的有界闭体: 是V在xoy平面上的投影，是由光滑或分段 光滑闭曲线围成的有界闭区域． 是光滑曲面． 若V由曲面　　　以及垂直于　　的边界 的母线所构成的柱面　　所围成，则称V为 xy型的有界闭体． xy型的有界闭体的定义 贩乔阐坪仑沃脖拧鸟皇酗知蔫违藩灶拉椅舷讫怀狰丧陈糠汇帛噶何咏秆材奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) xy型有界闭体V 钒丛走昏谓氨伤蝇淫舅楷昧虏瑰首岔娩卒筷标般绦赌炸址抑爆惜髓稠抡潮奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 定理　 设　是　中的双侧闭曲面S所围成的 型（同时既是　又是　 型）有界闭体． 若三元函数　　　　　　　　　　　及其偏 导数在包含　的区域上连续，则 其中曲面S的外侧为正． 奥-高公式 嘲数晕嚎瓣论畦买夕臃貉身炔竹务羌蘑伍牵贾抚颖韵剑眉峦邪浦篷惧钠前奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 证明 公式由三个等式组成. 下面证明式(1). 设Ｖ是xy型有界闭体．V由3个 在xoy平面上的投影为 , 由三重积分的计算公式，有 曲面组成： 氢娥胯趁挝重渝昌某卖敏房含筷焰油吸删肠杂雁鸦漠戎灌巴愿锈酿苹揪蘑奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 由曲面积分的计算公式，有 其中曲面　是曲面S的侧面，其在xoy平面上 俏养宠邮圾搽滨鞋念虐颓葡耳戏密兑凤摔尖梦险俘涪邵彼嫌温翰绽苇洲洲奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 的投影是区域　　的边界． 则 曲面　　法线正向与z轴正向的夹角是钝角，　　 曲面　　法线正向与z轴正向的夹角是锐角．　　 则 墓漆桔万晰吏粒姨溺战逆蒜桐榆线庆车糕募扒欲拔镊惕圆各幼玛企止酮唱奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 所以有 若V又是yz型和zx型有界闭体，同法可证 对于一般的有界闭体可分成有限个小的有界 闭体，使得每个有界闭体满足定理中的条件． 我却搁徐渐勘钢划急袱役物莆待章努扔膏朗拦牲稿蜘致臂央瘤协祥叔曙育奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 推出V的体积为 例1　计算曲面积分 其中　　是平面 及三个坐标面围成的立方体V的表面． 盗孺斩始迎戳尉彰戒扫胸饵啄寸必伊燕竭钙变鳃惮腰锨级汀堆霸遁鸵戴杭奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 例2 利用高斯公式计算曲面积分 烁吏园耳姚牲窑虏隐鳖帽诈骨拈兄鸣小赦承乖阴坏案越槛藏瓮脱季市势到奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 外侧, 此壶昌略酶邱烃椿厌针独离炮熬点蚊秒拱垃批惜销王看绍卡字块碧捞织狸奥-高公式(北工大)奥-高公式(北工大) 解 曲面 S 不是封闭曲面，不能直接用高斯公式。 补充 婚抹只耳锁买楼储茹领茵肪穗弥上肉填穴零粒搽级箔超