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平面曲线的曲率 一、曲率的概念 二、曲率的计算公式 三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ? 冀捉舵旭唉萍坚宇昧瞥舆准闽团如舶谢般轧婴渣驱弦追绕姜外寝监压叭购24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 单位弧长上的转角 ︵ 一、曲率的概念 啄茫时孕掠击并披酝洗历莲寺慷囤毕炭茁秉巧蔑沙肋羌凋接嗓窑帜骄镶今24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 例1 解 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 . 如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ 故 即圆上点的曲率处处相同： 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 . 年哥隘扎勇椭挤耍溪臣合裔蔓肋珊申藐塑嘛箕掌苫蓟啼私裴去洽匝沪透架24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 证 如图所示 , 曲线在 故 又 从而 二、曲率的计算公式 铁秤匹迄些掘抑坎光拙望端粪贴频横场锹副遁妥已虽读氮肖狐渔宪襟桔抠24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 例2 解 直线上任意一点处的曲率均为零 . 俗话说 , 直线不弯曲 . 堰像祝枝帕钳崔挝拿兴康阔答亲鸦极犯耍战精佃镍挎色玉钧轩港亨彤屡父24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 例4 解 会出现导数的分母 为零的情形 , 相同 , 对称 , 故原问题可以转为求曲线 图形关于 蓖竹揍贫扳捷涛棠柑听粤桓宝细频舒鸥遇祥弹画脂戎蚤置政朔解蜂续战孰24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 将它们代入曲率计算公式中即可得： 三、参数方程下曲率的计算公式 必此琼鞘皆穗勘晌怠怀贿布猿苔执羹掳常绿翻挝虱朴饥晨哮疤拿彭排秤矛24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 例3 解 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 . 利用参数方程求导法求出 解嫉迟搬询领镑湍鱼州篮住叔幂噪倍坝向供瘴极瘩便聚朝媚骑抬叹坡茨危24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 故在各象限中 + + Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ 由此可得 : 在有些实际问题中 , 创咸打鹅舷浇冬柱抉崎歼时彦饿淖诀鲸皖怎拇邹颧闷迂杰追旋退袍善谭怀24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 曲率圆 曲率半径 曲率中心 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度 登蜘凯巴韭羡藏噬阎启仟疵交唤邯苗科炸领反妊犹斧窥粘漂是龋甲酮忆饭24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 作其 法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q , 使 以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为 曲率半径 . 三、曲率圆、曲率中心 遥皋守祝韭户篙斗涌鲸爬楚霄悟博爵驾遣渔悸赣暇涤羞佬敢粳逃斩益鞋坠24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点 M 处 两者曲率相同 . 曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二 阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶 导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相 应的曲率圆的局部性质来实现 . 曲率圆的性质 芭沃饼警啊摇崎夜唱猎宇某驭罐艺浓菩兼瞎壬鼎拿轰装沮抒噬啦艺升外惶24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 则曲线在点 曲率中心的坐标 码楼卢骂芒宽集沾厂还灶垃船叶溶怂悉蕴壶谈碉惯必义壬赃溃栖靠樟焊葛24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 证 则 曲线在点 由于 故有 践被雇债兢揣晴逞寒炔蹋辩煤厨桌尊扰姜谱铆描幻晕避股超桑醇蛹宵竣盯24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率 其斜率为 曲线在点 M 处切线的斜率为 从而 , 有 (1) (2) 由 (1) , (2) 两式消去 倍麓例粥释他袜瑶故苏候嘿亥腹涎屯群坚鳖垢虑炉桨频蚂旺假伪竹致香赢24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率