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专题讲座数列与不等式综合应用
专题讲座：数列与不等式综合应用
例1 设等比数列的公比为，前n项和
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
例3.求证:
例4.求证:
解析:
例5 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。
解析:首先求出,∵
∴,∵,,…
,故当时,,
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例6.设不等式组表示的平面区域为,
设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:.
例7．在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（1）分别计算和的值；
（2）求数列的通项公式（将用表示）；
（3）设数列的前项和为，证明：，．
中，，对一切，，。
（I）求证：且；（II）证明：。
证明：（1）∵，∴，
∴ ，∴，
若存在，则，由此可推出，此与矛盾，
故。
∵ ，∴ 。
（2）由（1）得，
∴ ，
∴
，
∴ 。
6．设二次函数的所有整数值的个数为g(n) ．
（I）求g(n)的表达式；
（II）设
（III）设的最小值．
【解析】：（I）当时，函数的值随x的增大而增大，
∴的值域为，∴．
（II）．
① n为偶数时，
=－[3 + 7 +…+（2n－1）]=－．
②当n为奇数时，
=－．
∴．
（III）由 ①
①×得 ②
①－②得
=．
∴．
则由，可得l的最小值是7．
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