专题四猜想与证明.docVIP

专题四　猜想与证明 命题规律 1.猜想与证明问题怀化中考近7年共考查5次，都是以解答题的形式出现． 2．考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形；(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，与图形的折叠、平移有关． 命题预测 预计2017年怀化中考仍会重点考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题. ,中考重难点突破) 　　　　　　　　　　　　　　　　 　与图形旋转有关的问题 【例1】在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°. (1)如图①，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系； (2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD； (3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③，求的值． 【学生解答】(1)AO＝BD，AO⊥BD；(2)如图②，过点B作BE∥CA交DO于点E，∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°，∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.延长AC交DB的延长线于点F，如图②，∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°，∴AC⊥BD；(3)如图③，过点B作BE∥CA交DO于点E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.∴＝.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD，∴＝k. 【点拨】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解． (2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明． 1．(2016会同模拟)已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B，M，C分别作BD⊥m于点D，ME⊥m于点E，CF⊥m于点F. (1)当直线m经过B点时，如图①，易证EM＝____CF；(不需证明)[来源:学科网ZXXK] (2)当直线m不经过B点，旋转到如图②、图③的位置时，线段BD，ME，CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明． 解：图②的结论为：ME＝(BD＋CF)，图③的结论为：ME＝(CF－BD)．图②的结论证明如下：如解图①，连接DM并延长交FC的延长线于K，易证△DBM≌△KCM(ASA)，∴DB＝KC，DM＝KM，由题意知：ME＝FK，∴ME＝(CF＋CK)＝(CF＋DB)；图③的结论证明如下：如解图②，连接DM并延长交FC于K.易证△DBM≌△KCM(ASA)，∴DB＝KC，DM＝KM，由题意知：EM＝FK，∴ME＝(CF－CK)＝(CF－DB)． 　与图形相似、位似有关的问题 【例2】如图①，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧． (1)AE和ED的数量关系为________；AE和ED的位置关系为________； (2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③. ①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD； ②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示) 【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45°，所以∠AED＝90°，故AE⊥ED；(2)由△HGF≌△DHC可证GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴当CH＝k时可得CH＝FG＝k，从而证明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD，GH⊥HD. 【学生解答】解：(1)AE＝ED，AE⊥ED；(2)①由题意，∠B＝∠C＝90°，AB＝BE＝EC＝DC