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2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷 2002.04.07 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数中，自变量的取值范围是 ． 2．若一个半径为㎝的扇形面积等于一个半径为㎝的圆的面积，则扇形的圆心角为 ． 3．分式方程－＝2的解是 ． 4．代数式x2－2xy＋3y2―2x―2y＋3的值的取值范围是 ． 5．⊙O1、⊙O2的半径分别为2和3，O1O2＝9，则平面上半径为4且与⊙O1、⊙O2都相切的圆有 个． 6、若关于未知数x的方程的两根都是正数，则m的取值范围是 ． 7．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC＝a，＝，则AD＝ ． 8．平面内一个圆把平面分成两部分，现有5个圆，其中每两个圆都相交，每三个圆都不共点，那么这5个圆则把平面分成 部分． 9．在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球．若已知甲球与乙球相距5米，乙球与丙球相距3米，问甲球与丙球距离的取值范围？ 答： ． 10．计算所得的结果是 ． 二、（本题满分12分） 11．如图，已知A是直线l外的一点，B是l上的一点． 求作：（1）⊙O，使它经过A，B两点，且与l有交点C； （2）锐角△BCD，使它内接于⊙O．（说明：只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明） 三、（本题满分12分） 12．如图，己知正三棱锥S—ABC的高SO＝h，斜高SM＝l． 求经过SO的中点平行于底面的截面△A′B′C′的面积． 四、（本题满分13分） 13．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点． 五、（本题满分13分） 14．甲、乙两船从河中A地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B地和C地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B地的航程大于A地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2．试比较t1和t2的大小关系． 六、（本题满分14分） 15．如图，在锐角内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与角的边相切， 且半径分别为r1、r2、r3、r4、r5．若最 小的半径r1＝1，最大的半径r5＝81。求θ． 七、（本题满分16分） 16．过半径为r的圆O的直径AB上一点P，作PC⊥AB交圆周于C．若要以PA、PB、PC为边作三角形，求OP长的范围． 八、（本题满分16分） 17．设关于未知数x的方程x2―5x―m2＋1＝0的实根为α、β,试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立． 九、（本题满分16分） 18．在重心为G的钝角△ABC中，若边BC＝1，∠A＝300，，且D点平分BC．当A点变动，B、C不动时，求DG长度的取值范围． 2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷 参考答案 一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．且 2．60° 3． 4． 5．3 6． 7． 8．22 9．相距大于等于2米而小于等于8米 10．4006001 二、（本题满分12分） （1）作法： 在l上取点C，（使∠CAB≠90°） 经过A、B、C作⊙O，则⊙O就是 所求. （2）作法： 过O作BC的垂线交优弧BC于D， 连结DC、DB、AB，则△BCD就是 所求. 三、（本题满分12分） 解：连结OM、OA，在Rt△SOM中， . 因为棱锥S—ABC正棱锥，所以O是等边 △ABC的中心. , 四、（本题满分13分） 证明：设抛物线方程为，平行于抛物线的轴的直线方程为. 解方程组 得 故抛物线方程为与平行于其轴的直线只有一个交点． 五、（本题满分13分） 解：若以、、、、、分别表示A～B航程、A～C航程、下行时间、在静水中甲船航速、乙船航速和水流速度，则有： ，从而 六、（本题满分14分） 解： 同理， 同理可得， 七、（本题满分16分） 解：不失一般性，令P在OB上，且, 则有APBP，APPC. 若以AP、BP、PC为边作三角形，结合上面条件， 只须BP＋PCAP,即, 又 又.代入（1）得, 解得：. ∴OP的取值范围是. 八、（本题满分