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例2 例4 已知 则 二、协方差及相关系数 1、定义 称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)为随机变量X,Y 的协方差. 而COV(X,X)=DX. 为随机变量X,Y的相关系数。 协方差的计算公式 2、协方差的性质 D(aX+bY)= 定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0,　 E(Y-EY)=0 所以　E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EX EY 0， 即X，Y一定相关，则X，Y一定不独立。 一般情况下, 对于 个随机变量 有 3、相关系数的性质 说 明 X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。 例7 解 X，Y独立? =0?X，Y不相关。 注意独立与不相关并不是等价的. 当(X,Y)服从二维正态分布时，有 X与Y独立 X与Y不相关 三、 矩、协方差矩阵 协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩. 称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩. 若 存在， 称它为X和Y的k+L阶混合中心矩. 设X和Y是随机变量，若 k,L=1,2,… 存在， 可见， 协方差矩阵的定义 将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式: 称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵. 这是一个 对称矩阵 类似定义n维随机变量X=(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. 为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵 称矩阵 都存在, i, j=1,2,…,n 若 也常记为DX或者Cov(X,X). 协方差矩阵的性质 对于任一n元实列向量 有 2）是一个非负定矩阵 1）是一个对称矩阵 3）设 为n元随机向量， 有 a)对于 定义 b) p (x1,x2, …,xn) 则称X服从n元正态分布. 其中B是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. |B|是它的行列式， 表示B的逆矩阵， X和 是n维列向量， 表示X的转置. 设 =(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 四、下面给出n元正态分布的概率密度的定义. n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从一维正态分布. 对一切不全为0的实数a1,a2,…,an， 2. 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则(Y1,Y2, …，Yk)也服从多元正态分布. 这一性质称为正态变 量的线性变换不变性. 3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关” 例8 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度. 故X和Y的任意线性组合是正态分布. 解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y独立, D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即 Z~N(E(Z), D(Z)) Z~N(5, 32) 例9 解： * 第四节 数字特征及其特征函数 定义1 设离散型随机变量的分布律为 如果级数 绝对收敛， 称为随机变量X的数学期望， 记为 即 的和 则级数 简称期望或均值。 一、数字特征 若 不绝对收敛，则X的数学期望不存在。 1、随机变量的数学期望 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为 若积分 绝对收敛，则称该积分值为随 机变量X 的数学期望或平均值，简称期望或均值 记为 即 离散型和连续型随机变量的期望可以用一个式子表示 此积分是Lebesgue-Stieltjes积分，当X为离散型时， 其分布函数是阶梯函数，该积分成为求和的形式。 此积分是Lebesgue-Stieltjes积分，当X为连续型时， 该积分化为 此积分是Riemann积分。 2、 随机变量函数的数学期望 定理 设随机变量Y 是随机变量X 的函数， 1) 设X 为离散型随机变量，其分布律为 若级数