第八章经济问题.ppt

数学应用实践 (一)博弈论及其应用 2009.6.30 一、博弈论简介 博弈论（Game Theory），也称游戏论，对策论或竞争论。属数学上的运筹学分支，研究的是互动决策理论。 所谓互动决策，即各行动方（即局中人[player]）的决策是相互影响的，每个人在决策的时候必须将他人的决策纳入自己的决策考虑之中，当然也需要把别人对于自己的考虑也要纳入考虑之中……在如此迭代考虑情形进行决策，选择最有利于自己的战略(strategy)。 例子： 象棋，扑克，游戏 足球（进攻，防守） 价格大战， 生物之间竞争 决策与对策二人博弈和多人博弈合作，对战 应用范围：经济信息，军事，政治，生物竞争以及日常生活等。 二、商品订购中的风险决策 例1.(商店的进货问题) 某商店经营一种易腐食品，出售后一个单位可获利a=5元，若当天售不出去，则每单位损失b=3元，该店经理统计了连续天的需求情况（不是实际销售量），所的数据如下：3，3，4，2，2，4，2，3，4，4，4，3，2，4，2，3，3，4，2，2，4，3，4，3，2，3，4，2，3，2，2，3，4，2，4，4，3，2，3，3。 1）已知当天需求量为3个单位，明日应进多少货？ 2）若不知当天需求量，明日应进多少货？ 战争的双方为：需求和供给 需求状态空间为D={2，3，4} 假设第n天的需求量D只和第n-1天的需求量有关。 记从第i个状态转变为第j个状态的概率为 pij= Pr{Dn+1=j|Dn=i}，于是整个随机过程{Dn}可以由pij和初始状态D0需完全确定。 称这样的随机跳跃过程{Dn}为马尔科夫链。称由状态转移概率pij构成的矩阵P=(pij)3?3为状态转移矩阵。 假设： 1.经营的易腐烂食品，保质期为1天； 2.用销售的频率来近似需求的概率。 变量： 销售量D={2，3，4}，进货量S={2，3，4}， 收益V（s） 决策变量：进货量， 目标函数：期望的收益最大，即maxV（s）。 分析 需求规律分析：转移矩阵 以D1表示需求量为2个单位，D2表示需求量为3个单位，D3表示需求量为4个单位 . 马尔柯夫概率转移矩阵近似为 设进货量为Si=1+i(i=1,2,3),此时的收益可以写为 决策： 1). 求解： 于是V(S)=(10,12.54,13.23)T. 最终的决策是进货量为4个单位。 2)求解：对状态转移矩阵求最大的特征值对应的特征向量，即得到稳定状态的概率分布，为 Px=(1/3,1/3,1/3)T 此时V(S)=(10,12.33,12)T, 最后决策时进货量为3个单位。 进一步思考 缺货的概率多大？ 因腐烂而损失的钱有多少？ 如果参数a，b发生变化，对进货的策略有多大影响。 Matlab 代码 P=[3 6 4 4 3 6 6 4 3]; A=P./13; S=[2 3 4]; D=[2 3 4]; a = 5;b= 3; PD=A(2,:); for i = 1:3 SD=S(i)*ones(1,3)-D; SD(find(SD0))=0; V(i) = PD*(min(S(i)*ones(1,3),D).*a-SD.*b) end max(V) 三、涉及到存储的商品进货策略 例2. 工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。原料、商品存得太多，贮存费用（比方仓库租赁费、资金占用须支付银行的信贷费用等）高；存得太少则无法满足需求。在此我们设想是在为一个商店老板制定一个好的进货策略。 根据市场对商品的需求，确定每次进货量与进货周期，使得贮存费用最低，赢利最高。 决策变量：T和Q， 目标函数：f(T,Q)表示在进货周期为T，进货量为Q时，商店在单位时间的赢利。 模型： q(t)=Q-rt, 0t=T Maple 命令 Q:=r*T; q:=(t)-Q-r*t; f:=(Q,T)-((b-a)*Q-c1-c2*int(q(t),t=0..T))/T; simplify(f(Q,T)); simplify(expand(diff(%,T))); eq:=%=0; solve(eq,T); 进一步分析： 如果随着进货量的增加，进货价格会下降。最佳的进货量和进货周期又如何？ 如果允许缺货，结果如何？缺货带来的损失，如何定量刻画？此时的进货量和进货周期又如何？ 问题1： 已知某加油站以前1000天每天汽油需求量（升）的数据，每次进货的一次性费用c0，单位时间（天）单位（升）货物（汽油）的贮存费用cs。试为该加油站制定一个好的进货策略。 如何模拟随机需求量r？ 随机数的模拟 Matlab的统计工具箱提供了21种随机数发生函数，例