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第七章 电子自旋角动量 实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然在该方程的旋量结构。相对论性电子方程最低阶非相对论近似方程，。换句话说，方程电子非相对论性，自旋作用表现出是一种与电子空间运动没有直接关系外自由度，添加在方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理质依然不十分了解。 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912年反常Zeeman效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为重，即奇数重；1922年Stern—Gerlach实验，实验中使用的是顺磁的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，束，不受Lorentz力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为，数值为Bohr磁子。 针对以上难以解释的实验现象，1925年Uhlenbeck和Goudsmit提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量它在任意方向的取值只能有两个数值。为使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩并且和自旋角动量之间的关系为（电子电荷为） （71） 这表明，电子自旋的磁比是轨道磁比的两倍。于是，电子便具有了共四个内禀的物理量。根据实验事实用外加的方式引入电子自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身的一些精细结构，以及在外场下的多重分裂现象，也都得到了很好的解释。 然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即遭到否定。假设电子半径为，作为定性的估算可以合理地假定 ∴ 这就是说，为了要在的半径下旋转得出的角动量，电子必须大致以137倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。虽然现在能进行有关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本质有透澈的了解。 2, 电子自旋态的表示法 由于电子自旋是一个新的自由度，并且相应于这个新自由度的新变数只能取两个值，于是电子的状态波函数应当是一个两分量的列矢量， (7.2) 这里代表自旋角动量第三分量值的本征态、则为取朝下的。于是 总的归一化表示为 (7.3) 如果系统哈密顿量中不含自旋角动量，或是自旋部分和空间部分可以分开（即），则自旋波函数和空间波函数就可以分离， 考虑电子自旋角动量之后，方程便由方程扩充为两分量的方程，后者常称为Pauli方程。 3, 自旋算符与Pauli矩阵 自旋既是角动量就应当满足角动量的对易规则， , 这里 等 （74） ，自旋变数取值只有两个，并且波函数相应为两分量的列矢量，于是自旋角动量的三个分量算符自然应当是个的厄米矩阵，以便对这些两分量的列矢量进行变换。于是，引入三个二阶厄米矩阵来表示，令 , (7.5) 这里已经抽出的绝对数值，所以的本征值只能为，就是说，为自逆矩阵。将代入对易规则（74）式，就得到决定它们的下列关系， (7.6a) 为二阶单位矩阵。由间的这些对易关系也能导出间的反对易关系， 对任一给定的，总可以取，使，，于是到之间的反对易关系， 将它们代入(76a)式，便有 ， (7.6b) 将（76b）式反对易关系以及综合，， (7.6c) 当然，由（7.6c）式也可以推出面（7.6a）式，两者彼此等价。它们表明：是自逆的、反对易的和零迹的。最后一点是由于 ∴ . 这些关系式和结论是下面决定表达式的出发点。现在往求这三个厄米矩阵的具体形式。应当预先指出，由上面这组根据物理要求得出的反对易规则，并不能完全确定这组厄米矩阵。要想完全确定它们，必需另外附加规定。而不同附加规定求得的三个也将不同但这些不同组的均能满足上