2012年高考数学《圆锥曲线于方程》专题学案直线与圆锥曲线的位置关系.docVIP

第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线） 2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=————————或：—————————． 利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则 两式相减可得 即 ． 对于双曲线、抛物线，可得类似的结论． 例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点． (1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？ (2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 解： (1) 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ① 显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：[来源:Zxxk.Com] a∈(－，－)∪(，) 若A、B分别在双曲线的两支上，则有： a∈(－，) (2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝，x1x2＝． ∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1[来源:学|科|网Z|X|X|K] ＝a2·＋a·＋1＝1 ∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴＋1a＝±1 此时△＞0，符合要求． 变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值. 解：联立方程为 (1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解 (2) 当a≠0时，消去x得 ① 若＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解 ② 若≠0，即a≠－1，令△＝0 得1＋，解得a＝－ 此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点． 例2. 已知双曲线方程2x2－y2＝2. (1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 解：(1)即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是： ∴ ∴ 所求中点弦所在直线为，即． (2)可假定直线存在，而求出的方程为，即 方法同(1)，联立方程，消去y,得 然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在． 变式训练2：若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A．2 B．－2 C． D．－ 解：D 例3. 在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围． 解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则 ∵点在直线上，∴ ∴，代入，得，即 解得 解法二：设，关于对称，中点，则 相减得： ∴，则 ∵在抛物线内部，∴ 化简而得，即，解得． 变式训练3：设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则 . 解：8 例4. 已知椭圆＝1(a为常数，且a1)，向量＝(1, t) (t 0)，过点A(－a, 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）． (1) 求t表示△ABC的面积S( t )； (2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值． 解：(1) 直线AB的方程为：y＝t(x＋a)， 由 得 ∴ y＝0或y＝[来源:Zxxk.Com] ∴ 点B的纵坐标为 ∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB ＝ (2) 当a＝2时，S(t)＝＝[来源:学科网ZXXK] ∵ t∈[，1]，∴ 4t＋≥2＝4 当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立.