短时傅立叶变换.doc

短时傅立叶变换 傅立叶变换将信号的时域表示和频域表示联系了起来。在传统的信号分析中，平稳的随机信号在时域常用它的相关函数来表示，在频域常用它的功率谱来表示，相关函数与功率谱之间由傅立叶变换相联系。但这种变换是一种全域变换，只是将信号在单个域（时域或频域）里表示，因此不能反映非平稳信号统计量的时间变化。非平稳信号在局部可以认为是平稳的，对信号的局部进行傅立叶变换，以了解非平稳信号统计量的时间特性，这就是短时傅立叶变换STFT的基本思想。 STFT的定义 给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗函数γ（t）在t轴上滑动，则信号x(t)的短时傅立叶变换定义为： STFTx(t,f)＝∫- ∞∞ [x(t＇) γ*（t＇- t）]e-j2πft＇dt＇ (1) 该式的物理意义是，信号x(t)在时间t的短时傅立叶变换就是信号x(t)乘上一个以t为中心的“分析窗” γ*（t＇- t）所作的傅立叶变换。由于乘一个时间宽度很短的窗函数γ*（t＇- t）等价于取出信号在分析点t＇＝t附近的一个切片，所以短时傅立叶变换直接是信号x(t)在“分析时间t”附近的“局部频谱”。 STFTx(t,f)既是时间的函数，又是频率的函数。短时傅立叶变换（1）式也称为短时傅立叶分析。 STFT的时间－频率分辨率 由于在时间t的STFT是被窗函数γ*（t＇- t）预加窗后信号x(t)的谱，所以位于以时间t为中心的局部窗间隔内的所有信号特性都会在时间 t的STFT内显示出来。显然，STFT的高的时间分辨率要求窗函数γ（t）越窄越好；另一方面，在频率f处STFT的高的频率分辨率要求窗函数γ（t）越宽越好。 如果用Δt和Δf分别表示STFT的时间分辨率和频率分辨率，则它们的乘积满足不确定性原理： 时宽·带宽＝Δt·Δf ≥ 1／4π （2） 不确定性原理也称测不准原理。不确定性原理的重要意义在于它告诉我们，既有任意小的时域宽度，又有任意小的频域宽度的窗函数是根本不存在的。我们只能牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或牺牲频率分辨率以换取更高的时间分辨率。两个极端的例子是：冲激信号x(t)＝δ(t)的时域宽度为零，而其频域宽度为无穷大，频谱恒等于1；单位直流信号x(t)＝1的带宽为零，其频谱为冲激函数，但其时域宽度为无穷大。 STFT综合 和传统的傅立叶分析与综合一样，短时傅立叶变换也有分析和综合之分。综合（重构）公式为： p(u)＝∫- ∞∞∫- ∞∞ STFTx(t,f)g（u- t）ej2πfudtdf (3) STFT的完全重构条件为： ∫- ∞∞ γ*（t）g(t)dt＝1 (4) 三种满足STFT完全重构条件的分析窗函数： g(t) ＝γ（t）； g(t) ＝δ(t)； g(t) ＝1。 将式g(t) ＝γ（t）代入（3）式，得短时傅立叶反变换公式： x(t)＝∫- ∞∞∫- ∞∞ STFTx(t＇,f＇) γ（t- t＇）ej2πf＇f＇dt＇df＇ (5) 此时的完全重构条件为： ∫- ∞∞ │γ（t）│2dt＝1 (6) 短时傅立叶正变换（1）是一维变换，而短时傅立叶反变换（5）是二维变换。 离散STFT 短时傅立叶变换在实际应用时，需要将时频平面离散化。STFT分析公式（1）的离散化形式是： STFT综合公式（5）的离散化形式是： 式（7）和式（8）分别称作离散STFT分析和离散STFT综合。离散STFT综合也可以看作是离散STFT分析的广义反变换。若选择γ（k）＝g(k)，则有离散STFT反变换： 式中采样周期T和F、离散分析窗g(k)和离散综合窗γ（k）应满足下列“完全重构条件”： 2001年1月14日 3