工程优化设计中的数学方法硕士研究生课程.ppt

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工程优化 硕士研究生课程 第一章 基础知识 背景知识 最优化问题举例 优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点 因此,在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在处理实际问题时建立最优化数学模型,下面我们先把有关数学模型的一些事项作一些说明。 例 例5.(运输问题)已知有m个生产地点Ai, i=1,2,…,m。可供应某种物资,其供应量(产量)分别为ai,i=1,2,…,m,有n个销地Bj,j=1,2,…,n,其需要量分别为bj,j=1,2,…,n,从Ai到Bj运输单位物资的运价(单价)为cij,且 求最优运输方案。 运输问题线性规划模型 运输问题的表格表示——运输表 特殊运输问题——转运问题 容易计算出正弦曲线与折线间的面积(以此作为衡量误差的大小)为 由定义可知有如下两个定理(练习自证) 定理1:最优化问题的任意全局极小点必为局部极小值点. 定理2:若 为定义在 上的连 续函数,则 (1)以上问题的可行解的集合D为闭集 (2)以上问题的最优解的集合为闭集. 作业:P8, 1.1 作业 P8 1.1 第二章 基础知识 范数及其相关不等式 多元函数中值公式及其极值 二次函数 3. 向量内积:x , y ? Rn x , y 的内积:x, y = xT y =? xiyi = x1y1+ x2y2+ …+ xnyn x , y 的距离: ||x-y||= [(x-y)T(x-y)](1/2) x 的长度: ||x||= [ xTx ](1/2) 三角不等式: ||x + y ||≤||x||+||y|| 定理:设A为 n 阶对称正定矩阵,m与M分别为A的最小 与最大特征值,则 ,恒有 例:判定矩阵 是否正定. 解:对称矩阵Q的三个顺序主子式依次为: 作业 P38 2.1, 2.2, 2.4, 2.9-14,2.19, 2.20(后),2.32, 2.36 在n元函数中,除了线性函数: 或 3. 二次函数 之外,最简单最重要的一类就是二次函数。 二次函数的一般形式为 其中 均为常数。 其向量矩阵表示形式是: 其中 Q 为对称矩阵 在代数学中将特殊的二次函数 称为二次型。 对于二次函数,我们更关心的是Q为正定矩阵的情形。 定义:设Q为n×n对称矩阵,若 ,均有 则称矩阵Q是正 定的。若 ,均有 ,则 称矩阵Q是半正定的。若 ,均有 ,则 称Q是负定的。若 , 均有 ,则称Q是半负定的. 判定一个对称矩阵Q是不是正定的,可用Sylvester定理判定。 Sylvester定理:一个n×n对称矩阵Q是正定矩阵的充要条件 是矩阵Q的各阶主子式都是正的。 A是正定矩阵的等价条件 1) 存在非奇异矩阵G,使得A=GGT; 2) A的所有特征根大于零; 3) A的所有(顺序)主子式>0; A是半正定矩阵等价条件 1) 存在矩阵G,使得A=GGT; 2) A的所有特征根非负; 3) A的所有(顺序)主子式非负; 因此知矩阵Q是正定的。 定理: 若二次函数

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