3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题).ppt

一. 建模目的 目的在于提高学生根据实际问题建立微分方程模型的能力，学会求微分方程解析解与数值解的方法，并会做简单的计算机仿真。 二. 问题的提出 海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇 立即以最大速度b追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。问 缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线。 x y c o 5.3.2 缉私艇追击走私船问题 冒茶巍烛惋逆池叼侮按骏膏粒稽萤办咀羊尾咱稠粗椿箱殷张队妒帜藉烃州3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) 假设： 0 (c, 0) x y D (1) 建立坐标系； (2) 缉私船在(c,0)处发现走私船在 (0,0)处； (3) 走私船逃跑方向为y轴方向； (4) t时刻，走私船到达R(0,at) 缉私舰到达D(x,y)； (5) 缉私舰的运动轨迹为y=y(x) 三.模型的建立 R 疹淘里民拖使狄型沾朵坯愿孩胀涕趾蜘镜撞问咋噪骡擒届爆咐浚运黄英洱3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) α 化简： 对t求导： （1） 三.模型的建立 拍鸡敦苗零蜗赚显辆吊惋糙死家悦气赠憨酪苗蓟讼砌遍随肿庸光坚绢蝴穴3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) (2) 结合(1)、(2)得到如下微分方程： 问题：是否存在解析解？ 讹铅俞恩雅撬蹲标徽野例鞭苏箱掇昧霖芥键育扦臀孰沛勺配瘁时哮揪允尾3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) 四. 模型求解 (1) 求解析解 令： ， ， 袖狙魏持遗粗哲飘棺储盾娠榔耘页冤烟纹曰重忻抨镭目斜矛愈貌秤绰锯踢3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) 1) 当 x = 0 时， ， c=3千米，a=0.4千米/秒， 分别取b=0.6,0.8,1.2千米/秒时， 缉私艇追赶路线的图形。 追赶时间分别为： t=9，5，2.8125（分钟） Matlab绘图 拢掏盈国纫戈瘩李幼凄屉铬种寄焚斧黍寂窑吝赵牧弯扯春藐丹粥蓄慕羊微3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) 2) ， 3) ， 当 时， ， 缉私艇不可能追赶上走私船。 吉捶疲逐钓桶获陡猫忽瞪鬃咱皮女楔蜗陛秋拴价实茧葵使需闰芋囱进瞒件3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) (2) 用MATLAB软件求解析解 MATLAB软件5.3以上版本提供的解常微分方程解析解的指令是 dsolve，完整的调用格式是: dsolve(eqn1,eqn2, ...) 其中‘eqn1’,‘eqn2’, ...是输入宗量，包括三部分：微分方程、初始 条件、指定变量，若不指定变量，则默认小写字母t为独立变量。 微分方程的书写格式规定：当y是因变量时，用“Dny”表示y的n阶导数。 例 求微分方程 的通解。 dsolve(Dy=x+x*y,x) Ans=-1+exp(1/2*x^2)*C1 dsolve(Dy=1/2*((x/c)^r-(c/x)^r),y(c)=0,x) ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)))*c^r*(1/c)^r/(r+1)*x+ 1/2*exp(r*(log(c)-log(x)))/(-1+r)*x- 1/2*c*(-(1/c)^r*c^r+c^r*(1/c)^r*r+r+1)/(r^2-1) Matlab 侈快醒蔬腊切翔极冠竟溅脉劝抹溺善歼缔镭弹犬舅号陈傅甜痞胜肺忿自掇3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题) (3) 用MATLAB软件求数值解 c=3，a=0.4，b=0.8， 程序zx.m function y=zx(t,y) y=0.5*((t/3)^0.5-(3/t)^0.5) 执行下面的命令：ode23(zx,3,0.0005,0) matlab 若想看图中“o”点的坐标可执行下面的命令： [t,y]=ode23(zx,3,0.0005,0) plot(t,y) 此时缉私艇的位置坐标是（0.00050000000000，1.96013657712118） 执行下面的命令: ode45(zx,3,0.0005,0) 若想看图中“o”点的坐标可执行下面的命令： [t,y]=ode45(zx,3,0.0005,0) plot(t,y) 此时缉私艇的位置坐标是（0.0005