量子物理题解3.docVIP

量子物理 第3章 原子中的电子（崔砚生 助教李丹） 3.5 1884年瑞士的一所女子中学的教师巴尔末仔细研究氢原子光谱的各可见光谱线的“波数”（即1/）时，发现它们可以用下式表示 其中R为一常量，叫里德伯常量。试由氢原子的能级公式来求里德伯常量的表示式并求其值（现代光谱学给出的数值是R = 1.097 373 153 4107m-1）。 解：氢原子的能级公式为 氢原子的可见光谱是从的态跃迁到的态时发的光形成的，根据频率条件可得各谱线的波数应为 上式与题给的巴耳末公式对比，可得里德伯常量的表示式为 代入数据得R 此外，也可利用氢原子能级公式的另一表达式 （式中a0是玻尔半径） 求得各谱线的波数为 对比题给的巴尔末公式得 说明：如果要保证结果的3位有效数字是正确的，那么运算中所取的数据至少应有4位有效数字。本题代入的数据均取了4位有效数字，结果在3位有效数字上与R的精确值取3位有效数字是一致的。书上的答案虽给出了3位有效数字但与精确值取3位有效数字有差异（只在2位有效数字上是一致的），这是由于在运算中所取数据的有效数字位数不够（都只有3位）所造成的。 3.8 天文学家观察远处星系的光谱时，发现绝大多数星系的原子光谱谱线有红移现象。在室女座外面一星系射来的光的光谱中发现有波长为411.7nm和435.7nm的两条谱线。 （1）假设这两条谱线的波长可以由氢原子的两条谱线的波长乘以同一因子得出，它们相当于氢原子谱线的哪两条谱线？相乘因子多大？ （2）按多普勒效应计算，该星系离开地球的退行速度多大？ 解：（1）由于所测波长在紫光附近，故可设想该两条谱线属于氢原子的巴耳末系。已知，设想红移量不大，以计算较高能级的量子数n，则有 由此得 与相应的地面上测得的氢谱线的波长应为 相乘因子为 星光中，所以，当是从跃迁到时所发射。与此对应的 相乘因子为 （2）由于波长变化不大，所以退行速度不大。由多普勒效应公式 由此得 此外，本题还可以用另一种方法确定氢原子的两条谱线：因为由巴尔末公式 有 本题给出 故 化简得 （*） 因此必有 由此解得 ，分别取代入（*）式，求相应的的值，只有解得为大于n2的正整数才是我们需要的解。最后，我们求得满足（*）式的解只有=6，= 5这一组值。将这两个量子数带入谱线公式，即可确定要求的氢原子的两条谱线。 说明：本题给出波长的数据是4位有效数字，因此运算中代入其他数据的有效数字也应该取到4位。书上答案的解答过程中代入的有效数字位数只有3位，所以其结果与上面题解给出的答案有较大的出入（特别是退行速度）。 以上说明只是提醒同学们注意有效数字位数的选取，教师在作业批改中对得到书上答案的可考虑不扣分。 3.9 处于激发态的原子是不稳定的。经过或长或短的时间就要自发地跃迁到较低能级上而发出相应的光子。由海森伯不确定关系[原书（1.34）式]，在激发态的原子的能级E就有一个相应的不确定值。这又使得所发出的光子的频率有一个不确定值而使得相应的光谱线变宽。此一值叫做光谱线的自然宽度。的典型值为110-8s。试求电子由激发态跃迁回基态时所发出的光形成的光谱线的自然宽度。 解：由于原子可以稳定地处于基态，所以基态寿命应为无限长，而由不确定关系得知基态能级的能量值应是完全确定的，即。由此可知，所求谱线宽度完全是激发态的能量不确定度引起的。 由题给出的典型值，根据不确定关系，得 所以 3.19 在1.60T的磁场中悬挂一小瓶水。今加以交变电磁场通过共振吸收可使水中质子的自旋磁矩沿磁场方向的分量的大小为1.4110-26J/T。设分