训练15--椭圆双曲线抛物线的基本问题.docVIP

常考问题15　椭圆、双曲线、抛物线的基本问题 1．(2013·新课标全国卷)已知椭圆E：＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)． A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1 2．已知双曲线－＝1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　　)． A．5x2－y2＝1 B.－＝1C.－＝1 D．5x2－y2＝1 3．(2013·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为(　　)． A. B.＋1 C.＋1 D. 4．已知双曲线C与椭圆＋＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于(　　)． A．3 B．4 C．2 D．1 5．(2013·山东卷)抛物线C1：y＝x2(p0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)． A. B. C. D. 6．(2013·陕西卷)双曲线－＝1(m0)的离心率为，则m等于________． 7．(2013·合肥二模)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点PAl，A为垂足，如果AF的斜率为－，那么|PF|＝________.8．(2013·福建卷)椭圆T：＋＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足MF1F2＝2MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值． 10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程； (2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 11．(2013·天津卷)设椭圆＋＝1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值． 1．(2013·新课标全国卷)已知椭圆E：＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)． A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1 解析　直线AB的斜率k＝＝， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 －得＝－·.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－×，所以＝， 又a2－b2＝c2＝9，由得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为＋＝1.答案　D 2．已知双曲线－＝1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　　)． A．5x2－y2＝1 B.－＝1C.－＝1 D．5x2－y2＝1 解析　由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1. 答案　D 3．(2013·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为(　　)． A. B.＋1 C.＋1 D. 解析　依题意，得F(p,0)，因为AFx轴，设A(p，y)，y0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以－＝1.又因为c＝p，所以－＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即4－62＋1＝0.所以e2＝3＋2，e＝＋1. 答案　B 4．已知双曲线C与椭圆＋＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于(　　)． A．3 B．4 C．2 D．1 解析　由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，则双曲线的离心率e2＝＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为－＝1(a0，b0)，则有a＝＝＝1，b2＝＝＝，所以双曲线的标准方程为x2－