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能力培养1： 两个等差数列5，8，11，…，和3，7，11，…都有100项， 求：这两个数列相同项的个数 《数列》　艾镇南 * 平面的基本性质（二） * * * * 复习回顾 1.等差数列的概念 2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d =am+(n-m)d an-an-1=d (n∈N*且 n≥2) 3.等差数列的判定方法： (1) an＋1－an＝d ? {an}是等差数列 (2) 2an＋1=an+ an+ 2 ? {an}是等差数列 (3) an=kn+b ? {an}是等差数列 （4）Sn＝an2+bn ? {an}是等差数列 复习回顾 5.数列{an}的前n项和: 1．成等差数列的四个数之和为26，第二数 和第三数之积为40，求这四个数 解：设四个数为 则： 由①： 代入②得： ∴ 四个数为2,5,8,11 或 11,8,5,2． 若四个数成等差数列，可设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，数列的公差D＝2d. 例2 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5. 证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列， 它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d0,d0) 由勾股定理，得到 解得 从而这三边的长是 3d, 4d, 5d, 因此，这三条边的长的比是3：4：5 若三个数成等差数列，可设三个数为a－d，a，a＋d，数列的公差为d. 例3. 求集合 的 元素个数，并求这些元素的和。 解：由 得, ∴ 答：略 ∴正整数共有14个即 中共有14个元素 即：7，14，21，…，98 是 为首项 的等差数列 练习.等差数列{an}中已知a10＝23， （1）若a25＝－22，问此数列从第几项开始为负？ （2）若数列从第17项起各项均为负，求公差d的取值范围。 例 解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B， a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20， 所以C=30， S30=A+B+C=60. 解法一：已知两个等差数列 ｛an｝: 5，8，11，…公差为3 　　　　　　　　　 　｛bn｝: 3，7，11，…公差为4 通项公式分别是an=5+(n－1)·3=3n+2 bn=3+(n－1)·4=4n－1 假设｛an｝的第n项与｛bn｝的第k项相同，即 an=bk 则 3n+2=4k－1 n=k－1 ∵n∈N* ∴k必是3的倍数 k=3,6, 9, 12,…， 组成新的等差数列｛cn｝ 而相应的 n=3,7,11,15,…， 组成新的等差数列｛dn｝ 即 a3=b3, a7=b6, a11=b9, a15=b12，… 又因为这两个数列最多只有100项，所以 cn=3+(n－1)·3≤100 n≤100/3=33 n≤25 dn=3+(n－1)·4≤100 n≤101/4=25 又 n∈N* ∴这两个数列共有25项相同。 3 1 4 1 4 1 解法二：已知两个等差数列｛an｝：5，8，11，… 和｛bn｝：3, 7, 11, … 则 通项公式分别是an=5+(n－1)·3 bn=3+(n－1)·4 观察： 5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，… 3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，… 因此