计数原理与概率知识点及题型.docVIP

计数原理与概率 一、计数原理与=C；（2）C=C+C. 2、经典题型 见文库里的专题文章 二、二项式定理 1、基础知识： 二项式定理特征： ①右边的多项式叫做的二项展开式 ②各项的系数叫做二项式系数 ③叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第项 即 ④二项展开式特点：共项；按字母的降幂排列，次数从到递减； 二项式系数中从到递增，与的次数相同； 每项的次数都是 二项式系数的性质 性质1 的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即 性质3 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于，即 （令即得） 性质4 的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 （即得） 性质5 的二项展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值（即中间项的二项式系数最大） 2、经典题型 题型1 求展开式中的指定项和特定项（通项公式是关键） 求系数最大或最小项 例：在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解： 要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小,项的系数为 系数绝对值最大的项 例：在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ； 解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理， 故此答案为第4项 和第5项 。 求中间项 例： 求（的展开式的中间项； 解：展开式的中间项为 即：。 求有理项 例： 求的展开式中有理项共有 项； 解： 当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 （当一个代数式各个字母的指数都是整数时，则这个代数式是有理式） 题型2 求二项式或展开式系数 求指定幂的系数或二项式系数 例1 展开式中的系数是 ； 解：== 令则，从而可以得到的系数为： 例2 的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为 的系数应为： 题型3 求部分项系数及二项式系数和（赋值法） 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：1,0，-1在解题过程中考虑的比较多。 例1：设， 则 ； 分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解： = =0 例2： 若， 则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= = = 注： 题型4 利用二项式定理求近似值 例：求的近似值，使误差小于； 解：== ， 且第3项以后的绝对值都小于， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 == 题型5 利用二项式定理证明整除问题 解： 注：求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加1或减1 2 经典题型： 排列组合知识是基础，具体问题具体分析。 7