贵师大抽象代数考试卷.docVIP

贵州师范大学数学与计算机科学院 2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A) 考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。 注：本试题共三个大题，16个小题。满分100 分。 一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。每小题3分，共15分） 1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是 ( )。 (A) n是2的方幂； (B) n是素数；(C) n是素数的方幂； (D) n2。 2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是 ( ) 。 (A) H中的元素； (B) G\H中的元素； (C) G关于H的所有右陪集； (D) H的所有共轭g(1Hg。 3、设是环同态, 则同态的核( ) 。 (A) Ker(()={a(S: (b(R, ((b)=a}； (B) Ker(()={a(R: ((a)=a}； (C) Ker(()={a(R: ((a)=1}； (D) Ker(()={a(R: ((a)=0}。 4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是 ( ) 。 (A) ； (B) ； (C) (2； (D) 。 5、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是 ( ) 。 (A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素; (C) R可能是域且I是R的子域，[R : I]=3; 商环R/I一定是特征为3的域。 二、简答题（每小题6分，共30分） 6、剩余类环Z6是域吗？为什么？ 7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？ 8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？ 9、x3(2是实数(1在有理域上的极小多项式吗？为什么？ 10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。 三、解答题 11、(7分) 把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积 12、(8分) 计(mod 5) 13、(10分) 设f(x)=x4+x+1(Z2[x], (1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式; (2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约; 14、(10分) 设G是群, Z(G)={a(G: (g(G, ga=ag}是G的中心. 证明: (1) Z(G)是G的正规子群; (2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。 15、(10分) 证明：模n的剩余类环Zn的每个子加群都是理想。 16、（10分）就你所知, 《近世代数学》在科研工作和生产实践中都有哪些应用？ . 贵州师范大学数学与计算机科学学院 2006-2007年度第二学期期末考试试卷(B) 考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。 注：本试题共四个大题，18个小题。满分100 分。 一、(20分) 回答下列问题： 1、 (4分) 列出剩余类加群Z10的全部元素； 2、 (4分) 写出加法群Z10的全部生成元、全部子群； 3、 (4分) 写出剩余类环Z10的全部理想；（全部子群） 4、 (4分) 写出剩余类环Z10的全部可逆元（生成元）、全部零因子、负元； 5、 (4分) Z10是域吗？说明理由。 二、简答题（每小题6分，共30分） 6、7阶群的子群共有多少个?为什么? 7、除环的理想有多少个?为什么? 8、商环Q[x]/(x2+x+1)是域吗?为什么?。 9、设N是有限群G的正规子群,商群G/N与三次对称群S3同构,N≌Z11。说明: 22 | |G|. 10、有锐角的棱形的对称性群是几阶群? 三、计算题（每小题6分，共30分） 11、复数域C作为实数域R的扩域，求指数[C : R]. 12、计mod 7). 13、把置换ρ=(41536)(3745)(2175)表示为不相交的轮换的乘积。 14、如果域E的乘法子群E*=E\{0}有一个13阶子群H, 且[E*:H]=2, 求 |E|和域E的特征。 15、求+1在有理数域Q上的极小多项式。 四、证明题（三个小题，共20分） 16、(6分) 证明：有限域E的特征数p | |E|. 17、(6分) 设G = a,|a|=n. 证明：G是单群当且仅当n是素数. 18、 (8分) 设GLn(R)是实数域R上的一般线性群, S Ln(R)={A( GLn(R): |A| = 1}. 证明： (1) S Ln(R)是GLn(R)的正规子群; (2) 商群。