第八章： 函数.ppt

* * * * * * * * * * * * * 练习6 6．已知A={n7|n∈N}, B={n109|n∈N}, 求下列各题： (1) Card A (2) Card B (3) card (A?B) (4) card (A?B) 解 (1) 构造双射函数 f:N?A, f(n)=n7 , 因此 card A=?0 (2) 构造双射函数 g:N?A, g(n)=n109, 因此card B=?0 (3) 可数集的并仍旧是可数集，因此card(A?B)? ?0, 但是 card(A?B) ? card A=?0, 从而得到 card(A?B)= ?0. (4) 因为7与109互素，card(A?B)={n7?109 | n?N}， 与(1) 类似得到 card(A?B)= ?0 7. 已知cardA=?0, 且cardBcardA, 求card(A?B) 练习7 解 由A?B?A 得到 card(A?B) ? cardA, 即 card(A?B)? ?0 由 cardBcardA 可知 B 为有穷集，即存在自然数n使得 cardB=n. 假设card(A?B) ?0，那么存在自然数m，使得 card(A?B)=m 从而得到 cardA = card((A?B)?B) ? n+m， 与cardA=?0矛盾. 因此， card(A?B)= ?0. 8.2 函数的复合与反函数 定理：给定函数f:A→B,有 f＝f?IB＝IA?f 证明：首先易证f?IB和IA?f都是函数 x,y?f?x,y?f?y?B ?x,y?f?y,y?IB ?x,y?f?IB 同理可以证明 x,y?f?IB?x,y? IB?f 8.2 函数的复合与反函数 给定函数F，F-1不一定是函数 例：A={a,b,c},B={1,2,3} f={a,3,b,3,c,1} f非单射非满射 f-1={3,a,3,b,1,c} f-1不是函数 讨论：任给单射函数f:A→B f-1是函数 f-1:ranf→A的双射函数 f-1不一定是B到A的双射函数 8.2 函数的复合与反函数 定理：函数f:A→B是双射函数?f-1:B→A是双射函数 证明：由关系逆的性质 domf-1=ranf=B ranf-1=domf=A ?x?B，假设有y1,y2?A，使得 x,y1?f-1?x,y2?f-1 则 y1,x?f?y2,x?f f是单射，故y1=y2，所以f是函数 同样可以证明f是单射和满射 8.2 函数的复合与反函数 定理：函数f:A→B是双射函数? f-1?f=IB，f?f-1=IA 证明：首先易证f-1?f是B到B的函数。 ?x,y, x,y?f-1?f ??t(x,t?f-1?t,y?f) ??t(t,x?f?t,y?f) ?x=y?x,y?B ?x,y?IB 同理可以证明IB?f-1?f 第八章: 函数 第三节：双射函数与集合的基数 8.3 集合的基数 等势：集合A和B等势如果存在从A到B的双射函数 记作A?B 例：Z?N f: Z?N，使得 f(x)=2x，x≥0 f(x)=-2x-1, x0 例：N×N?N f: N×N?N，使得 f(m,n)=(m+n+1)(m+n)/2 + m 8.3 集合的基数 例：(0,1)?R f: (0,1)?R，使得 f(x)=tanπ(2x-1/2) 例：[0.1]?(0.1) f: [0.1]? (0.1)，使得 f(x)=1/2, x=0 f(x)=1/4, x=1 f(x)=1/2n+2, x=1/2n f(x)=x, 其他x 8.3 集合的基数 例：[0,1]?[a,b]，对任何ab, a, b?R f: