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第一章 幂函数、指数专项训练 函数和对数函数 【例题精选】： 例1 选择题 设集合（ ） A． B． C． D． 分析 本题考查元素和集合的关系及其表示法，由于表示元素，故这里A、C均不正确，又，因此本题应选D。 评述 常常发生把表示元素与集合关系的符号同表示集合与集合关系的符号混淆起来的错误，这是在理解概念、使用符号中应予以注意的。 例2 已知集合那么（ ）。 A．{（0，2），（1，1）} B．{1，2} C．R（实数集） D． 分析 经常发生求从而选A的错误。这里集合M，N中的元素都是实数，而不是实数对，故A应首先排除。 从函数的观点看，集合M，N分别是有关两个函数的值域，故，故。因此本题应选D。 选C的同学请注意，你把集合的交与并的概念搞混了。 评述 研究集合的问题，我们不仅要注意集合中元素具有什么共同性质，还要注意其中的元素有什么特征。 例3 已知全集 。 分析 认为是不正确的，因为这里全集I规定为，因此。 评述 根据补集的概念，给定集合A的补集还与约定的全集有关，我们不能想当然的去自行规定全集。 例4 已知I为全集，集合M，则（ ）。 A． B． C． D． 分析 要判断集合的关系。而这里都是未给出具体元素的抽象集合，一般应利用集合的文氏图来研究。 满足条件只可能是如图1-1中二种情况中的一种： 图1-1 即为仍依图1-1，不难得到本题应选C。 评述 用文氏图处理不给出具体元素的抽象集合问题时，既要注意题设的条件，又要注意可能的各种情况，切忌以特殊代一般而致错。 例5 已知集合试求集合所有子集的个数，并写出的所有真子集。 分析 要求得集合P的子集个数，必须先确定集合P中元素的个数，这又要确定集合M中的a。 解 由 ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}。 评述 这是一道集合中带有一定综合性的问题，若去掉条件那么求 时，就要对a是否为1或2（是肯定的，为什么？）进行讨论，因为表示集合的元素必须符合不重性（还有确定性和无序性）。 例6 已知全集并且 ，那么a的取值范围是（ ）。 A． B． C． D． 分析 由并如图1-2，在数轴上把它表示出来。 再由 图1-2 条件在数轴上的位置，而且对这区间的长度都提出了要求。综合图1-2，可以得到：，解这不等式组得。故本题应选B。 评述 本题既考查了解不等式的基本技能，又要求结合图形，分析清楚给定的集合关系的意义，体现了较高的要求。 例7 若关于x的两个方程 分析 本题考查对集合语言的识别，即首先要搞清用集合符号表述的命题的意义。 解 由的方程的根，故 解此方程组可得 再由一元二次方程的韦达定理，这两个方程的另一个解分别为2和-1，故 评述 方程根的定义的恰当使用常被忽略，应予注意。 例8 若关于x的不等式的每一个解都是不等式 求 分析 一一考察两个不等式的解之间的关系，本题无法处理，必须从解集这个整体上去考察，问题才会得解。 解 可以求得，不等式的解集为。 由已知，即有故得的取值集合为。 评述 集合思想在中学数学中应用颇多，本题仅一例。 二、充要条件 【重点与难点分析】： 本部分的重点在于理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念，难点是充要条件的概念与其他数学知识、方法的综合运用。考查要求是，对于给定的命题，判断其中的条件是结论的什么条件（在充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件，既非充分条件也非必要条件四者中选择一项）。 【典型例题】： 例1：指出下列各语句的含义： 1、A是B的充分非必要条件； 2、A是B的必要非充分条件； 3、A是B的充分必要条件。 解 1、A是B的充分非必要条件，即，但； 2、A是B的必要非充分条件，即，但； 3、A是B的充分必要条件，即，且。 评述：充分必要条件的概念是用推出关系定义的，表示由A定能推出B，表示由B推不出A，A是B的充要条件，又称A，B等价，记作。 例2：设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 A．丙是甲的充分非必要条件 B．丙是甲的必要非充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 分析：由已知有：甲乙；丙乙且乙丙，于是得丙乙甲；但甲丙，故本题应选A。 评述：上面甲丙的判断可作证明：若甲丙，则由甲乙，可得乙丙，这