计算物理方法(Sec3).pptVIP

设游动到了 点，以下的具体操作步骤为： （1）首先选取一个试探位置，假定该点位置为： ，其中 为在间隔 内均匀分布的随机数。 （2）计算 的数值。 （3）如果不等式 满足，那么进行这一游动，并取 ，返回（1）开始对游动到 点的试探。 （4）如果 ，产生一个 区间内的随机数 。 （5）如果此时 ，那么还接受这步游动，并取这步游动所到达的点为 ，然后返回到步骤（1），开始下一步到达 点的游动。 （6）如果此时 ，就拒绝游动，仍留在 的位置不变。 （7）返回到步骤（1），重新开始对游动到 点的又一次试探。 必须指出：采用这样的游动过程，只有在产生了大量的点 后．才能得到收敛到满足分布 的集。这里有一个明显的重要问题，就是如何选择 的大小，才能提高游动的效率?如果 选得太大，那么绝大部分试探的步子都将会被舍弃，就很难达到平衡分布：反之，如果 取得太小，那么绝大部分试探步子都会被接受，这同样难以达到所要求的平衡分布。根据实际应用的经验，选取 的一个粗略标准应当是：选择适当 大小的原则是要在游动的试探过程中，有1／3到1／2的试探步子将被接受。按照这样的标准选择得到的 ，就可以大大提高游动的效率。 另一个在Metropolis方法中的问题是：进行这样的随机游动，从哪一点出发才可以比较快地达到平衡分布呢?原则上讲，从任何一个初始位置出发均可达到平衡分布，但是为了尽快地达到平衡分布，我们最好是要选择一个合适的初始位置．这个初始位置应当是在游动范围内所要求的几率分布密度 最大的区域。 四、例子---一维简谐振子 假定有一个质量为m的粒子，在一维简单简谐势 中运动。取 为长度单位， 为时间 中 的单位。有 首先，选择任意的、连接 个时间间隔、且 的一条路径，计算上式的能量，然后再选一系列路径，每条路径与前条路径最多只有在一个时刻（例如 ），有不相同的空间点（见图）。采用Metropolis方法来确定满足上面要求的新径迹。其中将随机定下的坐标 改变到 的过渡几率为 ， 为分别包括在 时刻坐标为 和 的两条径迹的能量差，可由上式算出。这样的随机游动抽样得到的径迹也许会与前一个径迹相同。每当新径迹选出后，就利用前式计算被积函数 的估计值，并累加到求和之中。最终该求和所得的值与抽样路径的总数相除所得到平均值．就得到 的数值结果。按上述方法，游动足够多的步数后，找们就可以得到x点上 的值。 五、变分量子Monte Carlo方法 通过薛定谔方程求解基态本征能量和本征波函数 选择试探波函数 计算试探能量 其中， 可看作局域能量。 可看作空间点出现的几率。 由哈密顿，有 采用Metropolis随机游动方法产生满足 分布的 个点 ，则 不断改变试探波函数的值，并计算试探能量的平均值，直到取得最小值，这时得到的试探波函数和能量平均值就是基态波函数和基态能量本征值。 下面我们以一个一维的量子体系的变分蒙特卡洛模拟步骤作为示范： （1）选择一个物理上合理的近似基态波函数 作为试探波函数； （2）采用Metropolis方法，按照分布密度函数 随机抽取 个点 用上述公式计算能量平均值 。