计算流体力学基础.docVIP

一、计算流体力学的基本介绍 一、什么是计算流体力学(CFD)? 计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是流体力学的一个新兴的分支，是一个采用数值方法利用计算机来求解流体流动的控制偏微分方程组，并通过得到的流场和其它物理场来研究流体流动现象以及相关的物理或化学过程的学科。事实上，研究流动现象就是研究流动参数如速度、压力、温度等的空间分布和时间变化，而流动现象是由一些基本的守恒方程（质量、动量、能量等）控制的，因此，通过求解这些流动控制方程，我们就可以得到流动参数在流场中的分布以及随时间的变化，这听起来似乎十分简单。但遗憾的是，常见的流动控制方程如纳维一斯托克斯(Navier-Stokes)方程或欧拉(Euler)方程都是复杂的非线性的偏微分方程组，以解析方法求解在大多数情况下是不可能的。实际上，对于绝大多数有实际意义的流动，其控制方程的求解通常都只能采用数值方法的求解。因此，采用CFD方法在计算机上模拟流体流动现象本质上是流动控制方程（多数情况下是纳维一斯托克斯方程或欧拉方程）的数值求解，而CFD软件本质上就是一些求解流动控制方程的计算机程序。 二、计算流体力学的控制方程 计算流体力学的控剖方程就是流体流动的质量、动量和能量守恒方程。守恒方程的常见的推导方法是基于流体微元的质量、动量和能量衡算。通过质量衡算可以得到连续性方程，通过动量守恒可以得到动量方程，通过能量衡算可以得到能量方程。式(1)一(3)是未经任何简化的流动守恒微分方程，即纳维一斯托克斯方程( N-S方程)。 N-S方程可以表示成许多不同形式，上面的N-S方程是所谓的守恒形式，之所以称为守恒形式，是因为这种形式的N-S方程求解的变量p、pu、pv、pw、pE是守恒型的，是质量、动量和能量的守恒变量。事实上也可以直接求解u、v、w、T等原始变量，这种形式的方程被称为非守恒形式，因为这些变量并不守恒。也可以根据具体的流动状况进行简化。如对于无粘流动N-S方程可以简化为欧拉方程（粘性项被去掉），如式(4)一(6)所示；于不可压缩流动（液体的流动，马赫数小于0.3的气体流动），N-S方程可以简化为不i缩的N-S方程（密度恒定，因此被消去）；对于定常流动，N-S方程可以去掉时间导数】简化为稳态的N-S方程；流体流动往往具有三维性质，但是也常常可以简化为二维流动、一维流动。对于CFD的计算来说三维简化为二维或一维意味着运算量的大幅度降低。 三、求解控制方程的数值方法 对于无法用解析方法求解的微分方程可以用数值方法求解，所谓数值方法求解就是用近似的数值解逼近微分方程的精确解。流动控制方程的精确解是流场计算域内流动参数（如速度、压力、温度等）的连续分布，而数值解则是流场计算域内离散的点上的近似解对连续精确解的逼近，换句话说，我们可以把连续的流场离散为一定数目的不连续的点，在这些离散点上，守恒方程被近似满足，如果离散点之间的距离为无穷小，则近似解将无限趋近于精确解，因此我们可以周近似解代替精确解。这就是流动微分方程数值求解的基本思想。 以数值方法求解流动微分方程，首先要把需要求解的流场的几何空间（或称为计算域）离散为孤立的不连续的点，或者说用一定数量的点覆盖或代表要求解的连续的流场，然后将流动控制方程的偏导数用离散点之间的有限变化来代替，例如，表示速度梯度的导数Du／ 8x用差商△u/Ax来代替，其中△甜和Ax分别是x坐标方向的两个相邻的点的速度差和坐标x的增量。可以想象，如果控制微分方程中的所有导数或偏导数都被类似于差商的量代替的话，偏微分方程将有可能变成一个线性方程，一个只包含离散点的坐标和待求函数值(如上述的u)的线性方程。事实上，我们可以把流动控制方程组的每一个偏微分方程在每一个离散点上转变为一个线性方程。假如我们用100个点离散一个计算域，那么对每个偏微分方程我们将得到100个线性方程。至此，偏微分方程的求解已经转化为线性方程组的求解，如果得到线性方程组的解，我们就得到了偏微分方程组的近似数值解。因此，我们也可以说，CFD模拟的过程本质上是在计算域上构建线性方程组并求解线性方程组的过程。 从上面的论述可以看出，数值方法求解流动微分方程至少包括三个步骤：首光，离散计算域；其次，在离散后的计算域上离散控制方程；其三，求解离散得到的线性方程组。需要补充的是，并不是所有的线性方程都需要求解，实际上有些特殊点上的流动变量值或其梯度是己知的，这些特殊的点就是计算域边界上的点。通常为了限定微分方程的解，我们需要给出定解条件，在这里就是所谓边界条件。同样的道理，对于包含时间导数的微分方程，我们需要给定初始条件。 上面我们用差商取代导数的方法介绍了离散（把连续空间里的微分方程转化为该连续空间内的不连续的点上的近似的线性方程的过程叫做离散化）