矢量的基本代数运算.docVIP

Ch.2 曲线论 §1曲线与矢函数 一般地说，若一个矢量决定于一个（纯量）变数，我们就把它叫做变量的矢函数，写成。 在标架中，曲线的（分量式）参数矢方程为： §2矢函数的导矢与曲线的切线 某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。 若矢函数 在t0连续，则其导矢为 导矢函数 有时也简称为导矢。 设 为任意空间曲线。若矢函数在闭节里每一个t值连续，则曲线成为连续曲线。 导矢的几何意义：保证曲线在t0值对应点的切线存在而且代表这条切线的方向。就叫做在该点的一个切（线）矢（量）。 若在闭节里，而且连续，则的切线随着切点的移动而连续变动位置，这样的曲线叫做光滑曲线。 矢函数的微分 ， 这个定义在形式上和纯量函数一样。 若，，是含纯量变数t的矢函数，( 为t的纯量函数，则 有了导矢的概念就可以引进高阶导矢、多元矢函数的偏导矢、高阶偏导矢和全微分等概念，也有泰勒公式，不定积分和定积分概念。 §3切线与法面.弧长 除非另有声明，我们永远假定，对于曲线 （即保证上没有奇点），而且遇到的矢函数的各阶导矢都是连续的。 在点的切线方程为 其中表示切线上“流动点”的径矢，( 是参数。经过而垂直于切线的平面叫做在的法面，其方程为 其中表示法面上流动点的径矢。经过而垂直于切线的每一条直线都叫做在的法线，它们都在法面内。经过切线的每一个平面都叫做在的切面。 曲线的参数是可以改变的，对于任意曲线，一个自然的参数是它的弧长。在上取任意固定点P0作为度量弧长的始点（相当于原点）并规定一个弧长增加的正向，则对于曲线上任意点P，弧长有一个代数值。设P1为上另一个任意的固定点，则 也可以写成 或者 ，即 若在度量弧长始点P0，参数，则 或即 这就是弧长s和t参数的关系。 引进弧长作为参数，是幺矢。用“.”表示对于弧长的微导，并用表示幺矢： 于是是沿切线上的一个幺矢，称为的幺切矢。 §4曲率 曲线在它上面的一点P处的曲率是表示它在P点邻近的弯曲程度的一个几何量。 设P0为上任意固定点，P为上在P0邻近的一点，它们依次对应于弧长参数值和，设在P0，P的切线之间的角是，我们规定曲线在P0的曲率为 对于平面曲线 §5曲线论的基本公式.挠率 由于切矢是幺矢，对于弧长s微导，就得 若在切点P0，曲率，就沿一条法线的方向，这条法线叫做在P0的主法线，而与同向的幺矢 就叫做在P0的主法矢。曲线上曲率的点一般是孤立点，叫做曲线上的逗留点。 在曲线上一个非逗留点P0，切矢和主法矢是两各互相垂直的幺矢，令 就得到第三个幺矢，它也垂直于，叫做在P0的副法矢，经过P0沿方向的直线就叫做在P0的副法线。当切矢的正向颠倒时，副法矢的正向也颠倒，而主法矢的正向始终不变。在曲线上每一个非逗留点P0，都有三个右旋的、彼此垂直的幺矢，，，叫做在P0的基本矢。切线，主法线，副法线构成一个三稜形，叫做基本三稜形，它们决定三个彼此垂直的平面：和切线垂直的是法面，和主法线垂直的是从切面，和副法线垂直的是密切面。对于非平面曲线（也叫挠曲线），曲线在一点的密切面是经过该点和曲线“最贴近”的平面。 ，，是彼此垂直的幺矢，任意矢量都可以写成它们的线性组合 将，，写成它们的线性组合 由于 ， ， 微导，就得 若引进符号 则 这叫做曲线论的基本公式（Frente公式）。 曲线在P0的挠率是衡量它在该点邻近偏离平面曲线（或密切面）的程度。 挠率的几何意义：若P0为上任意固定点，P为上在P0邻近的一点，它们依次对应于弧长参数值和，是在P0，P的副法线之间的角，则曲线在P0的挠率为 曲线的曲率和挠率对于刚体变换都是不变量，这两个不变量一起，完全确定曲线的大小形状，仅仅不能确定曲线的位置，曲线的一切性质（包括它的一切不变量）都被这两个不变量完全决定，他们就叫做曲线的基本不变量。 §6简单的例 渐开线和基圆的一切切线正交，它是基圆的切线的一条“正交轨线”。 对于圆柱螺线 假定，则 可以看出： 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数。 挠率和螺线的节有相同的