高考一轮复习之数列与数学归纳法.docVIP

第三章 数列与数学归纳法 知识结构  高考能力要求 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 高考热点分析 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法． 数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．  3．1 数列的概念  知识要点 1．数列的概念 数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为： 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式． 例题讲练 【例1】 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －，，－，…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，…． 【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项． ⑴ Sn＝3n－2 ⑵ Sn＝n2＋3n＋1 【例3】 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2) ⑵ a1＝1，an＝ (n≥2) ⑶ a1＝1，an＝ (n≥2) 【例4】 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式． 小结归纳 1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等． 2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一． 3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）． 基础训练题 一、选择题 1．某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式： ① an＝[1＋(－1)n] ② an＝ ③ an＝ 其中可作为{an}的通项公式的是 （ ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 2． 函数f(x)满足f(n＋1)＝（n∈N*）且f(1)＝2，则f(20)＝ （ ） A．95 B．97 C．105 D．192 3． （2005年山东高考）{an}是首项a1＝1，公差